Phương trình lượng giác cơ bản cần nhớ – Giải bài tập SGK Toán 10

Trong chương cuối của chương trình lớp 10, các em sẽ được làm quen với lượng giác. Ở chương này, các em sẽ được học các kiến thức về cung và góc lượng giác. Bài học này, Toppy đã biên soạn các Công thức lượng giác toán 10 đầy đủ nhất bao gồm các công thức lượng giác cơ bản và nâng cao. Qua đó, các em sẽ vận dụng để có thể giải các bài tập liên quan.

Đặc biệt, để giúp các em học thuộc các công thức dễ dàng và đầy đủ, Toppy còn giới thiệu thêm một số cách ghi nhớ nhanh các công thức lượng giác. Hy vọng qua bài soạn của Toppy, các em sẽ nắm chắc được kiến thức cũng như hứng thú với chương lượng giác này.

Nội dung bài học Phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình sin x= a

 Xét phương trình sinx=a (1)

• Trường hợp |a|>1

Phương trình (1) vô nghiệm.

• Trường hợp |a|≤1

Gọi α (số đo radian) là một cung thỏa mãn sinα=a.

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện {−π2≤α≤π2sinα=a thì ta viết α=arcsina.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 Chú ý

a. Phương trình sinx=sinα  với α là một số cho trước, có các nghiệm là

x=α+k2π,k∈Z

x=π−α+k2π,k∈Z

Tổng quát

sinf(x)=sing(x)⇔[f(x)=g(x)+k2π,k∈Zf(x)=π−g(x)+k2π,k∈Z

b. Phương trình sinx=sinβ0 có các nghiệm là

x=β0+k3600,k∈Z

Và

x=1800−β0+k3600,k∈Z

c. Trong các công thức về nghiệm của phương trình lượng giác không dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.

d. Các trường hợp đặc biệt

sinx=0⇔x=kπ(k∈Z)

sinx=1⇔x=π2+k2π(k∈Z)

sinx=−1⇔x=−π2+k2π(k∈Z)

Phương trình cos x= a

 Xét phương trình cosx=a (2)

• Trường hợp |a|>1

Phương trình (2) vô nghiệm.

• Trường hợp |a|≤1

Gọi α (radian) là một cung thỏa mãn cosα=a.

Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là

Nếu số thực α thỏa mãn điều kiện {0≤α≤πcosα=a thì ta viết α=arccosa.

Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 Chú ý

a. Phương trình cosx=cosα , với α là một số cho trước, có các nghiệm là

x=±α+k2π,k∈Z

Tổng quát

cosf(x)=cosg(x)⇔f(x)=±g(x)+k2π,k∈Z

b. Phương trình cosx=cosβ0 có các nghiệm là

x=±β0+k3600,k∈Z

c. Các trường hợp đặc biệt

cosx=0⇔x=π2+kπ(k∈Z)

cosx=1⇔x=k2π(k∈Z)

cosx=−1⇔x=π+k2π(k∈Z)

cosx=±1⇔cos2x=1⇔sin2x=0⇔sinx=0⇔x=kπ(k∈Z)

Phương trình tan x = a

 Điều kiện của phương trình là x≠π2+kπ,(k∈Z)

Khi đó phương trình có nghiệm là

 Chú ý

a. Phương trình tanx=tanα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+kπ,k∈Z

Tổng quát

tanf(x)=tang(x)⇒f(x)=g(x)+kπ,k∈Z

b. Phương trình tan⁡ x=tanβ0có các nghiệm là

x=β0+k1800,k∈Z

c. Các trường hợp đặc biệt:

tanx=0⇔x=kπ(k∈Z)

tanx=±1⇔x=±π4+kπ(k∈Z)

Phương trình cot x=a

 Điều kiện của phương trình là x≠kπ,(k∈Z)

Khi đó phương trình có nghiệm là

 Chú ý

a. Phương trình cotx=cotα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:

x=α+kπ,k∈Z

Tổng quát

cotf(x)=cotg(x)⇒f(x)=g(x)+kπ,k∈Z

b. Phương trình cotx=cotβ0 có các nghiệm là:

x=β0+k1800,k∈Z

c. Các trường hợp đặc biệt:

cotx=0⇔x=π/2+kπ(k∈Z)

cotx=±1⇔x=±π/4+kπ(k∈Z)

Giải bài tập SGK trang 28 Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số 11):

Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

Lời giải:

Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Vậy phương trình có họ nghiệm 

b. cos 3x = cos 12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = ±4º + k.120º (k ∈ Z)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm 

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số 11):

Giải phương trình 

Lời giải:

+ Điều kiện: sin 2x ≠ 1.

+ Xét k lẻ. Đặt k = 2n + 1

 ∀ n (TMDK).

+ Xét k chẵn. Đặt k = 2n

 ∀ n (Không TMDK).

Vậy phương trình có họ nghiệm 

Bài 5 (trang 29 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a. (Điều kiện : x – 15º ≠ 90º + k.180º với ∀ k ∈ Z)

⇔ x – 15º = 30º + k180º , k ∈ Z

⇔ x = 45º + k.180º, k ∈ Z

Vậy phương trình có họ nghiệm x = 45º + k.180º (k ∈ Z).

b. Điều kiện: 3x – 1 ≠ kπ ∀ k ∈ Z

Mọi giá trị thuộc họ nghiệm đều thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình có họ nghiệm 

* Chú ý: Nếu các bạn sử dụng máy tính, kết quả cho được là  thay vì 

Các bạn sử dụng kết quả nào cũng đúng vì  và  hơn kém nhau π = 1 chu kì của hàm tan.

c. cos2x.tanx = 0

(Điều kiện xác định:  ).

Vậy phương trình có hai họ nghiệm  (k ∈ Z).

d. sin3x.cotx = 0

(Điều kiện xác định: x ≠ kπ ∀ k ∈ Z).

Kết hợp với điều kiện ta được 

Vậy phương trình có các họ nghiệm 

Bài 6 (trang 29 SGK Đại số 11):

Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(π/4 – x) và y = tan 2x bằng nhau?

Lời giải:

Kết hợp với điều kiện xác định suy ra  (k ∈ Z)

Vậy với  (k ∈ Z) thì 

Bài 7 (trang 29 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a. sin3x – cos5x = 0 ;

b. tan3x.tanx = 1

Lời giải:

a. sin3x – cos5x = 0

Vậy phương trình có hai họ nghiệm  (k ∈ Z).

b. tan3x.tanx = 1 (Điều kiện:  )

Các nghiệm thuộc họ nghiệm trên đều thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có họ nghiệm  (k ∈ Z).

Bài tập tự luyện Phương trình lượng giác

Làm các bài tập tự luyện giúp em rèn luyện tư duy giải nhanh các bài trắc nghiệm:

Phần câu hỏi

Câu 1:

Câu 2:

 

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Phần đáp án

1.B    2.A    3. A  4.B    5.B

Lời kết

Sau bài học này, các em cần ghi nhớ các phương trình lượng giác cơ bản đã được giới thiệu bên trên và luyện tập các bài tập ứng dụng. Để giải quyết các thắc mắc và khó khăn trong các môn học, đặc biệt là môn Toán, các em có thể tìm kiếm Toppy. 

Việc học không khó, hãy để Toppy lo !