Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn là chương trình học sẽ đồng hành cùng tất cả các bạn học sinh trong quá trình học THPT. Nhằm cung cấp nguồn tài liệu giúp các bạn có thể ôn tập lại kiến thức lý thuyết cơ bản. Cũng như hướng dẫn các bạn giải một số bài tập về dạng bất phương trình và hệ phương trình. Cùng Toppy ôn tập lại kiến thức này ngay nhé!
Kiến thức cơ bản cần nắm
- Hiểu rõ khái niệm về bất phương trình 1 ẩn và hệ bất phương trình 1 ẩn.
- Áp dụng và giải được tất cả các dạng toán về bất phương trình và hệ bất phương trình 1 ẩn.
- Hiểu thế nào là bất phương trình tương đương.
Cơ sở lý thuyết về bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
Lý thuyết cơ bản về bất phương trình một ẩn
Lý thuyết cơ bản về hệ bất phương trình 1 ẩn
Khái niệm và định lý về bất phương trình tương đương
>> Xem thêm: Thế nào là bất đẳng thức lớp 10 – Lý thuyết và phân loại bài tập
Giải bài tập về hệ bất phương trình – SGK
Bài 1: SGK – 87
a) ĐKXĐ: x # 0 và x + 1 # 0 ⇔ x # -1
Ta có TXĐ D = R\ {-1; 0}
b) ĐKXĐ
x2 – 4 # 0
⎨x2 – 4x + 3 # 0
(x-2)(x+2) # 0
⇔ ⎨(x-1)(x +1) # 0
x # ± 2
⎨ x # 1
⎨x # 3
Vậy ta có TXĐ D = R\ {±2 ; 1; 3}
c) Ta có ĐKXĐ: x + 1 # 0 ⇔ x # -1
Vậy ta có TXĐ của phương trình D = R\ {-1}
d) ĐKXĐ:
1- x ≥ 0 x ≤ 1
⎨x + 4 # 0 ⇔ ⎨x # -4
Vậy phương trình trên có TXĐ: D = ( -∞; -4) ⋃ (-4; 1]
Hoặc TXĐ D = (-∞; 1] \ {-4}
Bài 2: SGK – 88
a) ĐKXĐ của phương trình là x + 8 ≥ 0 ⇔ x ≥ -8
Ta có hệ bất phương trình:
x2 ≥ 0
⎨√(x + 8) ≥ 0
⇒ x2 + √(x + 8) ≥ 0 > -3
⇒ x2 +√(x + 8) > -3, ∀x ≥ -8
Vậy bất phương trình x2 +√(x + 8) > -3 vô nghiệm
b) Ta có:
√(1+2(x-3)2 )+ √(5-4x + x2 ) =
√(1+2(x-3)2 )+ √(1+(2-x)2)
√ (1+2(x-3)2 ) ≥ 1
Vì ⎨√ (1+(2-x)2 ) ≥ 1
⇒√ (1+2(x-3)2 ) + √ (1+(2-x)2 ) ≥ 2, ∀x
√(1+2(x-3)2 )+ √(5-4x + x2 )≥ 2
⇒ ⎨VP = 32
Vậy bất phương trình √(1+2(x-3)2 )+ √(5-4x + x2 ) < 3/2 vô nghiệm.
c) Có: 1 < 7 ⇒ 1+x2< 7 + x2
⇒ √(1+x2) < √( 7 + x2)
⇒ √(1+x2) – √( 7 + x2) < 0 < 1
Vậy bất phương trình √(1+x2) < √( 7 + x2) > 1 vô nghiệm
Bài 3: SGK – 88
a) Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương để giải bài toán trên.
Ta có: -4x + 1 > 0 (1)
Nhân cả 2 vế của bất phương trình (1) với -1. Ta được bất phương trình:
4x -1 < 0 (2)
Vậy bất phương trình (1) và (2) tương đương nhau.
b) Ta cộng cả 2 vế của bất phương trình 2x2 + 5 ≤ 2x -1 với -2x +1
2x2 + 5x – 2x + 1 ≤ 2x -1 -2x + 1
⇔ 2x2 -2x + 6 ≤ 0
Vậy bất phương trình 2x2 + 5 ≤ 2x -1 tương đương với bất phương trình 2x2 -2x + 6 ≤ 0
c) Sử dụng phép biến đổi tương đương để có thể nhận xét bài toán trên.
Ta cộng cả 2 vế của bất phương trình x + 1 > 0 với 1/ (x2 + 1) Ta được:
x + 1 > 0 ⇔ x + 1 + 1/(x2 + 1) > 1/ (x2 + 1)
Vậy bất phương trình x + 1 > 0 tương đương với bất phương trình x + 1 + 1/(x2 + 1) > 1/ (x2 + 1)
d) ĐKXĐ: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
Ta có 2x + 1 > 0 ⇒ √( x-1) ≥ x
Nhân cả 2 vế của √( x-1) ≥ x với 2x + 1
(2x +1)√( x-1) ≥ x(2x+1)
Vậy bất phương trình √( x-1) ≥ x tương đương với (2x +1)√( x-1) ≥ x(2x+1)
Bài 4: SGK – 88
a) Với phần này, để giải được bài toán, ta quy đồng mẫu số, đưa phương trình về bất phương trình bậc nhất bằng các phép biến đổi tương đương.
b) Ở ý này, ta khai triển bất phương trình và rút gọn. Đưa chúng về bất phương trình bậc nhất bằng các phép biến đổi tương đương.
Bài 5: SGK – 88
Phương pháp giải bài toán chung cho bài này đó là:
- Giải tường bất phương trình 1 và tìm tập nghiệm của chúng.
- Tìm giao của các tập nghiệm và ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình 1 ẩn.
a) Ta có:
b) Ta có:
Một số bài tập bổ sung về bất phương trình lớp 10
Vận dụng các kiến thức đã học giải các bài tập dưới đây về bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
Bài 1: Hãy tìm ĐKXĐ của các bất phương trình sau:
a) √(2x -1) – 1/ (3x-1) ≥ 6
b) x + 1/ (3x-1) > 2 + 2/ (-x -3)
c) (x + 2x) 5x/ (2x+ 1) ≤ √(3x + 2)
Bài 2: Hãy tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:
m2x + 2m + 3 ≤ x -3m2
Bài 3: Tìm m để 2 bất phương trình (m2-2m)x +m -3 ≥ 0 và (m+2)x -m+ 2 ≥ 0 tương đương
Bài 4: Tìm m để hệ bất phương trình 1 ẩn sau có nghiệm;
m(2mx +1) < 1
⎨m2 ( mx -2) ≥ m -1
Tổng kết kiến thức
Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản về bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn mà toppy muốn các bạn ôn tập. Hy vọng những cách giải hệ phương trình trên sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn và có thể vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Toppy luôn đồng hành cùng các bạn trên con đường học tập của chính mình.
