Tập hợp và các phép toán trên cùng tập hợp là chủ đề rất quan trọng trong chương trình học lớp 10. Đây cũng là tiền đề giúp các em nắm vững kiến thức đại số trong chương trình học cơ sở và mai sau. Nội dung dưới đây sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về các phép toán trên tập hợp và một số ví dụ về phép toán này. Hãy cùng chú ý nhé!
Kiến thức cần đạt được
Về kiến thức
- Các em cần nắm vững được thế nào là các phép toán trên tập hợp.
- Có những phép toán trên tập hợp nào?
- Hiểu và nắm rõ được ngôn ngữ của tập hợp là gì? Dùng ngôn ngữ tư duy của mình để diễn đạt được bài toán đó.
Về mặt kỹ năng
- Thành thạo cách tìm các phép toán tập hợp như: tập giao, tập hợp, phần bù, phần hiệu trong các bài toán.
- Biết vận dụng các ký hiệu về tập hợp vào các bài toán.
- Hiểu được biểu đồ Ven là gì. Sử dụng được biểu đồ Ven. Biểu diễn được mối quan hệ giữa các tập hợp.
Lý thuyết
Trước tiên để tìm hiểu các phép toán trên tập hợp chúng ta cần tìm hiểu tập hợp là gì?
Tập hợp được định nghĩa là gì?
Định nghĩa: “ Tập hợp là một khái niệm cơ bản ( hay không được định nghĩa) của toán học.”
Các tập hợp thường sử dụng các chữ cái in hoa như A,B, C… X,Y, Z để ký hiệu. Còn các phần tử sử dụng chữ cái in thường để ký hiệu.
Ký hiệu a ∈ A có nghĩa là a là một phần trong tập hợp A, hoặc a thuộc tập hợp A. Ngược lại, ký hiệu a ∉ A nghĩa là a không nằm trong tập hợp A hoặc a không là phần tử của tập hợp A.
Một phần tử có thể liệt kê các phần tử hoặc nêu tính chất đặc trưng của phần tử đó.
Ví dụ: A={ 3,5} hay A={ x ∈ R/ X^2 – 3x +4 =0}
Nếu trong một tập hợp mà không có phần tử nào ta sẽ gọi là tập hợp rỗng và được ký hiệu là: Ø.
Thế nào là các phép toán trên tập hợp
Có những phép toán trên tập hợp nào?
- Phép hợp
Tập A hợp tập B sẽ được ký hiệu là A ∪ B, là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B.
A∩B⇔{x∣x∈A và x∈B}
Ví dụ: Cho tập A={3;5;6},B={1;3} thi A∪B={1;2;3;5;6}
- Phép giao
Phép giao là tập hợp của tất cả những phần tử thuộc tập X và tập Y. Phép giao được ký hiệu là: X∩Y
X∪Y⇔{x∣x∈X hoặc x∈Y}
Nếu 2 tập hợp X và Y không có phần tử nào chung thì có nghĩa 2 tập đó rời nhau. Ký hiệu là X∩Y=∅.
- Phép hiệu
Phép hiệu hay còn gọi là hiệu của hai tập hợp C và D là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc C nhưng không thuộc D, ký hiệu: C∖D
C∖D=x∣x∈C & x∉D
- Phép lấy phần bù
Cho G là tập con của tập E. Phần bù của G trong X là X∖G, ký hiệu là CxG là tập hợp cả các phần tử của E mà không là phần tử của G.
Ví dụ: Cho tập A={2;3;4},B={1;2} thi CAB=A∖B={3;4}
>> Xem thêm: Giải bài tập hợp toán 10 – Bài 2: SGK
Bài tập
Hướng dẫn giải bài tập trên SGK
Bài 1 ( Đại số 10 trang 15 SGK):
Hướng dẫn giải:
Ta có: A = {C, O, H, I, T, N, Ê }; B = {C, O, N, G, Ô, M, A, Ă, I, S, T, Y, Ê, K}
+ A ∩ B = {C, O, I, T, N, Ê}
+ A ∪ B = { C, O, Ô, N, G, M, A, Ă, I, S, T, Y, Ê, K, H}
+ A \ B = {H}
+ B \ A = {G, S, K, M, A, Ô, Ă, Y}
Bài 2 ( Đại số 10 trang 15 SGK):
Hướng dẫn giải:
a)
b)
c)
d)
Bài 3 (Đại số 10 trang 15 SGK ):
Hướng dẫn giải:
a) Các bạn được học lực giỏi (HLG) = 15.
Các bạn được hạnh kiểm tốt (HKT) = 20.
Số bạn học lực giỏi (HLG) +hạnh kiểm tốt (HKT) = 10.
⇒ Số bạn được hạnh kiểm tốt (HKT) mà không được học lực giỏi (HLG) = 20 – 10 = 10.
Số bạn được học lực giỏi (HLG) mà không được hạnh kiểm tốt (HKT) = 15 – 10 = 5.
Vậy số bạn được khen thưởng = (số bạn được hạnh kiểm tốt (HKT) mà không được học lực giỏi (HLG))
+ (số bạn được học lực giỏi (HLG) mà không được hạnh kiểm tốt (HKT))
+ (số bạn vừa được học lực giỏi (HLG), vừa được hạnh kiểm tốt (HKT))
= 5 + 10 + 10 = 25 (bạn).
b) Số học sinh chưa được xếp loại học lực giỏi (HLG) và chưa có hạnh kiểm tốt (HKT) là: 45 – 25 = 20 (bạn).
Bài 4 (Đại số 10 trang 15 SGK): Cho tập hợp A, hãy xác định A ∩ A, A ∪ A, A ∩ ∅, A ∪ ∅, CAA, CA∅
Lời giải:
+ A ∩ A = A + A ∪ A = A
+ A ∩ ∅ = ∅ + A ∪ ∅ = A
+ CAA = A \ A = ∅ + CA∅ = A \ ∅ = A.
Các bài tập về các phép toán trên tập hợp
Ví dụ 1: Cho A là tập hợp gồm các em học sinh lớp 12 đang học ở trường em và B là tập hợp các học sinh hiện đang học môn Toán của trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các tập hợp sau: A ∩ B; A \ B; B \ A; A ∪ B
Hướng dẫn:
- A ∪ B: tập hợp các học sinh hoặc học lớp 12 hoặc học môn Toán của trường em.
- A ∩ B: tập hợp các học sinh lớp 12 học môn Toán của trường em.
- A \ B: tập hợp các học sinh học lớp 12 nhưng không học môn Toán của trường em.
- B \ A: tập hợp các học sinh học môn Toán của trường em nhưng không học lớp 12 của trường em.
Ví dụ 2: Cho hai tập hợp:
A = { x ∈ R | x2 – 4x + 3 = 0};
B = { x ∈ R | x2 – 3x + 2 = 0}.
Tìm A ∪ B ; A ∩ B ; A \ B ; B \ A.
Hướng dẫn:
Ta có: A={1;3} và B={1;2}
A ∪ B={1;2;3}
A ∩ B={1}
A \ B={3}
B \ A={2}
Ví dụ 6:
Cho hai đoạn A=[a ;a + 2 ] và B=[b ;b + 1]. Các số a và b cần thỏa mãn điều kiện gì để A ∩ B≠ ∅
Hướng dẫn:
Điều kiện để A ∩ B= ∅ là:
Từ đó, suy ra điều kiện để A ∩ B ≠ ∅ là b-2 ≤ a ≤ b + 1
Tổng kết
Trên đây là những kiến thức cơ bản về các phép toán trên tập hợp mà toppy.vn tổng kết được. Hy vọng bài viết trên sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tập hợp cũng như biết vận dụng vào các bài toán về phép toán tập hợp. Chúc các em luôn học tập thật tốt!
