Bài học này, các em sẽ được tìm hiểu kiến thức xoay quanh hai mặt phẳng song song. Để hiểu được hình học không gian, các em hãy nắm chắc được hai mặt phẳng song song là gì, có những tính chất nào và điều kiện để hai mặt phẳng song song ra sao. Nhắm giải đáp cũng như củng cố lượng kiến thức bài học này, Toppy đã biên soạn nội dung bài học cùng những bài tập, mong rằng các em thật sự nghiêm túc tiếp thu kiến thức để học tốt bài học này. Cùng đến với bài ngay nào!
Mục tiêu bài học : Hai mặt phẳng song song
- Khái niệm cũng như tính chất của hai mặt phẳng song song
- Điều kiện để hai mặt phẳng song song
- Hoàn thiện các bài tập trong SGK từ cơ bản đến nâng cao
Kiến thức cơ bản của bài học : Hai mặt phẳng song song
Sau đây là tóm tắt toàn bộ phần lý thuyết của bài học , yêu cầu các bạn tập trung lắng nghe để đạt hiệu quả tốt nhất
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng phân biệt
Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q). Căn cứ vào số đường thẳng chung của 2 mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:
a. Hai mặt phẳng (P) và (Q) không có đường thẳng chung, tức là:
(P) ⋂ (Q) = ∅ ⇔ (P) // (Q).
b. Hai mặt phẳng (P) và (Q) chỉ có một đường thẳng chung, tức là:
(P) ⋂ (Q) = a ⇔ (P) cắt (Q).
c. Hai mặt phẳng (P) và (Q) có 2 đường thẳng chung phân biệt, tức là:
(P) ⋂ (Q) = {a, b} ⇔ (P) ≡ (Q).
(P) ⋂ (Q) = ∅ ⇔ (P) // (Q).
(P) ⋂ (Q) = a ⇔ (P) cắt (Q).
(P) ⋂ (Q) = {a, b} ⇔ (P) ≡ (Q).
2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song
Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song (Q).
Tức là: 
3. Tính chất
Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.
Tức là: O ∉ (P) ⇒ ∃! (Q): 
Cách dựng:
+ Trong (P) dựng a, b cắt nhau.
+ Qua O dựng a1 // a, b1 // b.
+ Mặt phẳng (a1, b1) là mặt phẳng qua O và song song với (P).
Hệ quả 1 như sau : Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì qua a có một và chỉ một mặt phẳng (P) song song với (Q).
Hệ quả 2 như sau : Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.
Tức là: 
Định lí Ta – lét trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ.
Tức là:
4. Hình lăng trụ và hình hộp
Định nghĩa của hình lăng trụ như sau : Hình lăng trụ là một hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai cạnh đáy đều song song với nhau.
Trong đó:
+ Các mặt khác với hai đáy gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.
+ Cạnh chung của hai mặt bên gọi là cạnh bên của hình lăng trụ.
+ Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác …
Từ định nghĩa của hình lăng trụ, ta lần lượt suy ra các tính chất sau:
a. Các cạnh bên song song và bằng nhau.
b. Các mặt bên và các mặt chéo là những hình bình hành.
c. Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
Định nghĩa hình hộp:
Ta có định nghĩa như sau : Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.
a. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
b. Hình hộp có tất cả các mặt bên và các mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập phương.
Chú ý: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
5. Hình chóp cụt
Định nghĩa: Cho hình chóp S.A1A2…An. Một mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt các cạnh SA1, SA2,…, SAn theo thứ tự tại A’1, A’2,…, A’n. Hình tạo bởi thiết diện A’1A’2…A’n và đáy A1A2…An của hình chóp cùng với các mặt bên A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…, AnA1A’1A’n gọi là một hình chóp cụt.
Trong đó, ta có thể hiểu như sau :
+ Đáy của hình chóp gọi là đáy lớn của hình chóp cụt, còn thiết diện gọi là đáy nhỏ của hình chóp cụt.
+ Các mặt còn lại gọi là các mặt bên của hình chóp cụt.
+ Cạnh chung của hai mặt bên kề nhau như A1A’1, A2A’2,…, AnA’n gọi là cạnh bên của hình chóp cụt.
Tùy theo đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,…
Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có các tính chất sau:
1. Hai đáy của hình chóp cụt là hai đa giác đồng dạng.
2. Các mặt bên của hình chóp cụt là các hình thang.
3. Các cạnh bên của hình chóp cụt đồng quy tại một điểm.
Hướng dẫn giải bài tập Toán 11 SGK bài học : Hai mặt phẳng song song
Để cùng nhau đi kiểm tra những kiến thức vừa rồi chúng ta đã điểm qua thì cùng nhau đi làm một số bài học sau đây nhé!
Bài 1 :
Bài toán đã cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d song song với nhau và không nằm trên (α). Trên a, b và c lần lượt lấy ba điểm A’, B’ và C’ tùy ý.
a) Hãy xác định giao điểm D’ của đường thẳng d với mặt phẳng (A’B’C’).
b) Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành.
Lời giải:
a) Giả sử (A’B’C’) ∩ d = D’
⇒ (A’B’C’) ∩ (C’CD) = C’D’.
+ AA’ // CC’ ⊂ (C’CD)
⇒ AA’ // (C’CD).
AB // CD ⊂ (CC’D)
⇒ AB // (CC’D)
(AA’B’B) có:
⇒ (AA’B’B) // (C’CD).
Mà (A’B’C’) ∩ (AA’B’B) = A’B’
⇒ (A’B’C’) cắt (C’CD) và giao tuyến song song với A’B’
⇒ C’D’ // A’B’.
b) Chứng minh tương tự phần a ta có B’C’ // A’D’.
Tứ giác A’B’C’D’ có: B’C’ // A’D’ và C’D’ // A’B’
⇒ Vậy chúng ta có thể kết luận : A’B’C’D’ là hình bình hành.
Bài 2 :
Cùng đi nghiên cứu những dữ liệu sau để giải bài toán nhé : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM song song với A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (A’B’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mp(AMA’). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Lời giải:
a) Do ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên ta có: BCC’B’ là hình bình hành
Xét tứ giác BCC’B’ có M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’ nên MM’ là đường trung bình
Lại có: AA’// BB’ và AA’= BB’ ( tính chất hình lăng trụ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MM’// AA’ và MM’ = AA’
=> Tứ giác AMM’A’ là hình bình hành
b) Trong (AMM’A’) gọi O = A’M ∩ AM’, ta có :
Ta có : O ∈ AM’ ⊂ (AB’C’)
⇒ O = A’M ∩ (AB’C’).
c)
Gọi K = AB’ ∩ BA’, ta có :
K ∈ AB’ ⊂ (AB’C’)
K ∈ BA’ ⊂ (BA’C’)
⇒ K ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
Dễ dàng nhận thấy C’ ∈ (AB’C’) ∩ (BA’C’)
⇒ (AB’C’) ∩ (BA’C’) = KC’.
Vậy d cần tìm là đường thẳng KC’
d) Trong mp(AB’C’), gọi C’K ∩ AM’ = G.
Ta có: G ∈ AM’ ⊂ (AM’M)
G ∈ C’K.
⇒ G = (AM’M) ∩ C’K.
+ K = AB’ ∩ A’B là hai đường chéo của hình bình hành ABB’A’
⇒ K là trung điểm AB’.
ΔAB’C’ có G là giao điểm của 2 trung tuyến AM’ và C’K
⇒ Dựa vào những kiến thức đã được học , ta có thể kết luận : G là trọng tâm ΔAB’C’.
Bài 3 :
Cùng đọc và nghiên cứu bài toán sau đây : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BDA’) và (B’D’C) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 lần lượt của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
c) Chứng minh G1 và G2 chia đoạn AC’ thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi O và I lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD và AA’C’C. Xác định thiết diện của mặt phẳng (A’IO) với hình hộp đã cho.
Lời giải:
a) + A’D’ // BC và A’D’ = BC
⇒ A’D’CB là hình bình hành
⇒ A’B // D’C, mà D’C ⊂ (B’D’C) ⇒ A’B // (B’D’C) (1)
+ BB’ // DD’ và BB’ = DD’
⇒ BDD’B’ là hình bình hành
⇒ BD // B’D’, mà B’D’ ⊂ (B’D’C) ⇒ BD // (B’D’C) (2)
A’B ⊂ (BDA’) và BD ⊂ (BDA’); A’B ∩ BD = B (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra : (BDA’) // (B’D’C).
b) Gọi O = AC ∩ BD
+ Ta có: O ∈ AC ⊂ (AA’C’C)
⇒ A’O ⊂ (AA’C’C).
Trong (AA’C’C), gọi A’O ∩ AC’ = G1.
G1 ∈ A’O ⊂ (A’BD)
⇒ G1 ∈ AC’ ∩ (BDA’).
+ Trong hình bình hành AA’C’C gọi I = A’C ∩ AC’
⇒ A’I = IC.
⇒ AI là trung tuyến của ΔA’AC
⇒ G1 = A’O ∩ AC’ là giao của hai trung tuyến AI và A’O của ΔA’AC
⇒ G1 là trọng tâm ΔA’AC
⇒ A’G1 = 2.A’O/3
⇒ G1 cũng là trọng tâm ΔA’BD.
Vậy AC’ đi qua trọng tâm G1 của ΔA’BD.
Chứng minh tương tự đối với điểm G2.
c) *Vì G1 là trọng tâm của ΔAA’C nên AG1/AI = 2/3 .
Vì I là trung điểm của AC’ nên AI = 1/2.AC’
Từ các kết quả này, ta có : AG1 = 1/3.AC’
*Chứng minh tương tự ta có : C’G2 = 1/3.AC’
Suy ra : AG1 = G1G2 = G2C’ = 1/3.AC’.
d) (A’IO) chính là mp (AA’C’C) nên thiết diện cần tìm chính là hình bình hành AA’C’C.
Bài 4 :
T có những dữ liệu như sau : Cho hình chóp S. ABCD. Gọi A1 là trung điểm của cạnh SA và A2 là trung điểm của đoạn AA1. Gọi (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (α) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B1, C1, D1 . Mặt phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2. Chứng minh:
a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D.
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD.
Lời giải:
a) Chứng minh B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD
Ta có:
⇒A1B1 là đường trung bình của tam giác SAB.
⇒ B1 là trung điểm của SB (đpcm)
*Chứng minh tương tự ta cũng được:
• C1 là trung điểm của SC.
• D1 là trung điểm của SD.
b) Chứng minh B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D.
⇒A2B2 là đường trung bình của hình thang A1B1BA
⇒ B2 là trung điểm của B1B
⇒ B1B2 = B2B (đpcm)
*Chứng minh tương tự ta cũng được:
• C2 là trung điểm của C1C2 ⇒ C1C2 = C2C
• D2 là trung điểm của D1D2 ⇒ D1D2 = D2D.
c) Các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD, đó là : A1B1C1D1.ABCD và A2B2C2D2.ABCD
Lời kết :
Toppy mong rằng sau bài học này ,các bạn có thể nắm chắc những kiến thức liên quan đến chủ đề ” Hai mặt phẳng song song ”. Đây là một bài có lượng kiến thức và bài tập khá dài. Vì thế để ghi nhớ kiến thức tốt các bạn cần thường xuyên ôn tập lại lý thuyết và bài tập. Để nắm vững và đi sâu hơn với những bài tập khác, các em hãy truy cập vào: https://www.toppy.vn/
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Hãy cùng Toppy khám phá thêm nhiều bài học bổ ích nhé!
