Toán học luôn có những điều thú vị mà con người dù có tìm hiểu và khám phá nhiều thế nào cũng không thể hết được. Ngày hôm nay, Toppy sẽ cùng với bạn tìm hiểu về biểu thức hữu tỉ và biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Đồng thời sẽ có một số bài tập cũng như cách giải để giúp bạn có thể làm bài tập một cách nhanh nhất.
Biểu thức hữu tỉ là gì?
Biểu thức hữu tỉ là các biểu thức nguyên và biểu thức phân.
- Biểu thức nguyên là một đa thức.
- Một biểu thức chứa các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và chứa biến ở mẫu được gọi là biểu thức phân
Ví dụ như các biểu thức hữu tỉ sau:
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ
Việc biến đổi các biểu thức hữu tỉ sẽ thực hiện theo các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức. Từ đó, các biểu thức hữu tỉ sẽ được biến đổi thành một phân thức.
Ví dụ: Thực hiện biến đổi biểu thức 
thành một phân thức như sau:
Biến đổi các biểu thức hữu tỉ giá trị của biểu thức
Từ cách biến đổi các biểu thức hữu tỉ chúng ta có cách giải bài toán liên quan đến giá trị của phân thức như sau:
- Trước hết, tiến hành tìm điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0.
- Giá trị phân thức được xác định thì ta rút gọn tính toán phân thức.
Ví dụ như sau:
Cho phân thức 
- a) Tìm điều kiện để phân thức trên xác định.
- b) Tính giá trị của phân thức tại
Cách làm:
- a) Điều kiện để phân thức xác định là ( x + 1 )( x – 2 ) ≠0 ⇒ x ≠- 1; x ≠2.
- b) Giá trị của phân thức tại x = 1
Ta có: 
>> Xem thêm: Phép chia các phân thức đại số
Một số bài tập toán 8 biến đổi các biểu thức hữu tỉ và cách giải
Bài 1: Cho phân thức 
a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.
b) Tính giá trị của phân thức tại x = 1 000 000 và tại x = – 1
Lời giải:
a) Ta có: x2 + x = x(x + 1)
Giá trị phân thức này được xác định với điều kiện x2 + x ≠ 0
⇒ x(x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 và x + 1 ≠ 0
⇒ x ≠ 0 và x ≠ -1
b) Ta có: 
Bài 2: Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số
Lời giải:
Bài 3: Với giá trị nào đó của x thì giá trị của mỗi phân thức sau được xác định?
Lời giải:
a) Phân thức 
xác định
⇔ 2x + 4 ≠ 0
⇔ 2x ≠ -4
⇔ x ≠ -2
Vậy với mọi x ≠ -2 thì phân thức xác định.
b) Phân thức 
xác định
⇔ x2 – 1 ≠ 0
⇔ (x – 1)(x + 1) ≠ 0
⇔ x – 1 ≠ 0 và x + 1 ≠ 0
⇔ x ≠ 1 và x ≠ -1.
Vậy với mọi x ≠ ±1 thì phân thức xác định
Bài 4: Cho phân thức
a) Với điều kiện nào của x thì giá trị của phân thức được xác định ?
b) Rút gọn phân thức.
c) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 ?
d) Có giá trị nào x để giá trị của phân thức bằng 0 hay không ?
Lời giải:
a) Phân thức xác định
⇔ x + 2 ≠ 0
⇔ x ≠ -2
Vậy điều kiện xác định của phân thức là x ≠ -2.
c) A = 1 ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = -1 ≠ -2 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy với x = -1 thì A = 1.
d) A = 0 ⇔ x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (Không thỏa mãn điều kiện)
Vậy không có giá trị nào của x để A = 0.
Bài 5: Đố em tìm được phân thức (của một biến x) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của x khác các ước của 2.
Lời giải:
Các ước của 2 là ±1, ±2.
Vậy phân thức cần tìm phải xác định với mọi x ≠ ±1; ±2.
Ta có thể chọn:
Có rất nhiều đáp án khác.
Bài 6: Thực hiện các phép tính:
Lời giải:
Bài 7: Làm các phép tính sau:
Lời giải:
Bài 8: Chứng tỏ rằng với mọi x ≠ 0 và x ≠ ±a (a là một số nguyên), giá trị của biểu thức 
là một số chẵn.
Lời giải:
Rút gọn biểu thức ta có:
Với a là một số nguyên thì giá trị biểu thức bằng 2a là một số chẵn.
Bài 9: a) Biến đổi mỗi biểu thức sau thành một phân thức đại số:
b) Em hãy dự đoán kết quả của phép biến đổi biểu thức:
thành phân thức đại số và kiểm tra lại dự đoán đó.
Lời giải:
b) + Dự đoán :
Quy luật : Giả sử viết các phân thức trên thành một dãy thì phân thức sau có tử bằng tổng của tử và mẫu của phân thức đứng liền trước và mẫu bằng tử của phân thức đứng liền trước đó.
Do đó :
+ Kiểm chứng :
Trên đây là những kiến thức cơ bản về biến đổi các biểu thức hữu tỉ cũng như cách giải một số bài toán trong SGK Toán lớp 9. Để tìm hiểu thêm nhiều hơn các kiến thức về Toán học và những môn học khác, bạn có thể truy cập vào địa chỉ https://toppy.vn/. Chắc chắn sẽ có rất nhiều điều thú vị.
> Xem thêm:
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy
Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.
Kho học liệu khổng lồ
Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.
Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả
Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!
Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất
Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.
Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập
Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.
