Cộng, trừ và nhân số phức – Giải bài tập SGK Toán 12

Tiếp nối bài học trước, bài học hôm nay các em sẽ được học về cộng, trừ và nhân số phức. Đây là những phép tính về số phức để giúp các em biết cách thực hiện các phép toán về số phức. Với những ví dụ minh họa cụ thể cùng với lời giải chi tiết cho từng bài tập giúp các em nắm vững được kiến thức lý thuyết. Hi vọng đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích, giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức hơn. Cùng đến với bài học ngay nào!

Mục tiêu bài học Cộng, trừ và nhân số phức

Trước mỗi bài học, chúng ta đều đặt ra cho mình những mục tiêu nhất định để tạo động lực học bài!

• Nắm được quy tắc cộng trừ và nhân số phức.
• Biết thực hiện các phép toán cộng trừ và nhân số phức.
• Vận dụng vào các dạng bài tập thường gặp.

Kiến thức Cộng, trừ và nhân số phức

Lý thuyết của bài học hôm nay khá dễ hiểu, các bạn chú ý ghi chép lại bài học nhé!

1. Phép cộng và trừ số phức

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

Vậy:

Ví dụ 1. Tìm tổng của hai số phức

a) z₁=2+3i và z₂=−1+i;

b) z₁=3i và z₂=5–√−2–√i;

Hướng dẫn giải:

a) z₁+z₂=(2+(−1))+(3+1)i=1+4i

b)  z₁+z₂=(0+5–√)+(3+(−2–√))=5–√+(3−2–√)i

Ví dụ 2. Tìm hiệu của hai số phức

a) z₁=2+3i  và z₂=−1+i

b) z₁=3i  và z₂=5–√−2–√i

Hướng dẫn giải:

a) z₁−z₂=(2−(−1))+(3−1)i=3+2i

b) z₁−z₂=(0−5–√)+(3−(−2–√))=−5–√+(3+2–√)i

Ví dụ 3: Cho số phức x₁=1+i và x₂=2−3i  . Tìm số phức liên hợp của số phức w=x₁+x₂ .

Hướng dẫn giải:

Vì x₁=1+i và x₂=2−3i,

nên w = x₁+x₂ ⇔ w=(1+2)+(1−3)i=3−2i ⇔ w¯=3+2i      .

Ví dụ 4: Tìm hai số thực x và y thỏa mãn:

(2x−3yi)+(1−3i)= x+6i ( với i là đơn vị ảo).

Giải

(2x−3yi)+(1−3i)=x+6i

⇔ x+1−(3y+9)i=0  ⇔x=−1;y=−3

2. Phép nhân

Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i²=−1 trong kết quả nhận được.

Vậy:

Chú ý: Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.

Ví dụ 5. Tính

a)(2+3i)(3−2i)

b) (2–√−i)(3–√+2–√i)

Hướng dẫn giải:

a) (2+3i)(3−2i)=6−4i+9i−6i2=12+5i

b) (2–√−i)(3–√+2–√i)=6–√+2i−3–√i−2–√i2=(6–√+2–√)+(2−3–√)i

Nếu học qua phần lý thuyết rồi mà vẫn còn nhiều khó khăn, các bạn có thể xem bài giảng của thầy giáo điển trai đến từ Toppy dưới đây nhé!

Giải bài tập SGK Cộng, trừ và nhân số phức

Phần bài tập trong sách giáo khoa rất sát với lý thuyết chúng ta cần nhớ. Vậy nên các bạn chú ý giải hết rồi kiểm tra với đáp án của cô nhé!

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 134:

Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi i là biến), hãy tính:

(3 + 2i) + (5 + 8i);

(7 + 5i) – (4 + 3i);

Lời giải:

(3 + 2i) + (5 + 8i) = (3 + 5) + (2 + 8)i = 8 + 10i.

(7 + 5i) – (4 + 3i) = (7 – 4) + (5 – 3)i = 3 + 2i.

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 2 trang 135: Hãy nêu các tính chất của phép cộng và phép nhân số phức.

Lời giải:

Các tính chất của phép cộng

Bài 1 (trang 135 SGK Giải tích 12):

Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – 5i) + (2 + 4i)

b) (-2 – 3i) + (-1 – 7i)

c) (4 + 3i) – (5 – 7i)

d) (2 – 3i) – (5 – 4i)

Lời giải:

a) Ta có: (3 – 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 – i

b) Ta có: (-2 – 3i) + (-1 – 7i) = (-2 – 1) + (-3 – 7)i = -3 – 10i

c) Ta có: (4 + 3i) – (5 – 7i) = (4 – 5) + (3-(-7))i = -1 + 10i

d) Ta có: (2 – 3i) – (5 – 4i) = (2 – 5) + (-3 + 4)i = -3 + i

Bài 2 (trang 136 SGK Giải tích 12):

Tính α+ β,α- β với:

a) α = 3, β = 2i

b) α = 1 – 2i, β = 6i

c) α = 5i, β = -7i

d) α = 15; β = 4 – 2i

Lời giải:

a) Ta có: α + β = 3 + 2i ; α – β = 3 – 2i

b) α + β = (1 – 2i) + (6i) = 1 + 4i;

α – β = (1 – 2i) – (6i) = 1 – 8i

c) α + β = (5i) + (-7i) = -2i;

α – β = (5i) – (-7i) = 12i

d) α + β = (15) + (4 – 2i) = 19 – 2i ;

α – β = (15) – (4 – 2i) = 11 + 2i

Bài 3 (trang 136 SGK Giải tích 12):

Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 – 2i)(2 – 3i)

b) (-1 + i)(3 + 7i)

c) 5(4 + 3i)

d) (-2 – 5i)4i

Lời giải:

a) (3 – 2i)(2 – 3i) = (3.2 – 2.3) + (-3.3 – 2.2)i = -13i

b) (-1 + i)(3 + 7i) = (-1.3 – 1.7) + (-1.7 + 1.3)i = -10 – 4i

c) 5(4 + 3i) = 5.4 + 5.3i = 20 + 15i

d) (-2 – 5i)4i = (-2.0 + 5.4) + (2.4 – 5.0)i = 20 – 8i

Bài 4 (trang 136 SGK Giải tích 12):

Tính i³,i⁴;i⁵. Nêu cách tính iⁿ với n là số tự nhiên tùy ý:

Lời giải:

+ i³ = i².i= – 1i = -i.

i⁴ = i².i² = -1.(-1) = 1

i⁵ = i⁴.i = 1.i = i

+ Với n là số tự nhiên bất kì ta có :

Nếu n = 4k ⇒ iⁿ = i^4k = (i⁴)^k = 1^k = 1.

Nếu n = 4k + 1 ⇒ iⁿ = i^{4k + 1} = i^4k.i = 1.i = i.

Nếu n = 4k + 2 ⇒ iⁿ = i^{4k + 2} = i^4k.i² = 1.(-1) = -1.

Nếu n = 4k + 3 ⇒ iⁿ = i^{4k + 3} = i^4k.i³ = 1.(-i) = -i.

Bài 5 (trang 136 SGK Giải tích 12):

Tính:

a) (2 + 3i)²

b) (2 + 3i)³

Lời giải:

a) Ta có: (2 + 3i)² = (2 + 3i)(2 + 3i) = (2² – 3³) + (2.3 + 2.3)i = -5 + 12i

Tổng quát (a + bi)² = a² – b² + 2abi

b) Ta có:

(2 + 3i)³ = (2 + 3i)².(2 + 3i)

= (-5 + 12i).(2 + 3i)

= (-5.2 – 12.3) + (-5.3 + 12.2)i

= -46 + 9i

Lưu ý: Có thể tính (2 + 3i)³ bằng cách áp dụng hẳng đẳng thức

(2 + 3i)³ = 2³ + 3.2².3i + 3.2.(3i)² + (3i)³

= 8 + 36i + 54.(-1) + 27.(-1).i

= (8 – 54) + (36 – 27)i

= -46 + 9i

Lời kết:

Qua bài học này, các em đã biết cách tính số phức chưa nào? Cộng, trừ và nhân số phức sẽ phức tạp, đòi hỏi khả năng tư duy cao, vì vậy các em hãy chăm chỉ làm bài tập để luyện tập và ghi nhớ cách tính nhé! Để luyện tập nhiều hơn, các bạn hãy đến với Toppy . Ở đó có đầy đủ bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp các bạn nắm vững bài học.

Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.