Vectơ trong không gian – Giải bài tập SGK Toán 11

Sau khi học về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, các em cảm thấy thế nào? Lượng kiến thức có bị vướng mắc chỗ nào không nhỉ? Bài học hôm nay, chúng ta sẽ được tìm hiểu sang một lượng kiến thức mới trong không gian. “Vectơ trong không gian” – Kiến thức quan trọng, là nền tảng để các em giải các bài tập về sau. Đây cũng là kiến thức liên quan đến bài thi trong kỳ thi THPT Quốc gia mà sắp tới các em sẽ thi. Hãy cùng vào bài học ngay để không bỏ xót nội dung nào nhé!

Mục tiêu bài học : Vectơ trong không gian

Sau bài học hôm nay . các bạn cần nắm vững những kiến thức sau :

• Khái niệm về Vectơ trong không gian
• Những tính chất cũng như các dạng bài tập liên quan
• Hoàn thiện toàn bộ bài tập cơ bản SGK

Kiến thức cơ bản của bài học : Vecto trong không gian

Dưới đây là những kiến thức lý thuyết của bài học , các bạn hãy tập trung lắng nghe

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một vectơ, được kí hiệu là AB→.

Định nghĩa

Ta có định nghĩa như sau đây : Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB→ chỉ vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối B. Vectơ còn được kí hiệu là a→, b→, x→, y→, …

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như giá của vectơ, độ dài của vectơ, sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, vectơ – không, sự bằng nhau của hai vectơ, … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba vectơ trong không gian

Trong không gian cho ba vectơ a, b, c đều khác vectơ – không. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a, OB = b, OC = c thì có thể xả ra hai trường hợp:

+ Trường hợp thứ nhất xảy ra là : Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng vectơ a, b, c không đồng phẳng.

+ Trường hợp thứ hai xảy ra là : Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thi ta nói ba vectơ a, b, c đồng phẳng.

Trong trường hợp này giá của các vectơ a, b, c luôn luôn song song với một mặt phẳng.

a) Ba vectơ a, b, c không đồng phẳng

 

b) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba vectơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

2. Định nghĩa

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Ba vectơ đồng phẳng và từ định lí về một vectơ theo hai vectơ hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng chúng ta có thể chứng minh được định lí sau đây:

Định lí 1

Trong không gian cho hai vectơ a, b không cùng phương và vectơ c→. Khi đó ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c = ma+ nb. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

Định lí 2

Trong không gian cho ba vectơ không đồng phẳng a, b, c. Khi đó với mọi vectơ x ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x = ma + nb + pc Ngoại ra bộ ba số m, n, p là duy nhất.

Hướng dẫn giải bài tập SGK Toán 11 bài học : Vecto trong không gian

Khi đã học xong phần lý thuyết thì bây giờ chúng ta sẽ cùng nhau làm một số bài tập để kiểm tra lại kiến thức của mình

Bài 1 :

Chúng ta có đề bài như sau : Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A^‘B^‘C^‘D^‘. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA^‘, BB^‘, CC^‘, DD^‘ lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có các điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

Lời giải:

Bài 2 :

Đề bài cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A^‘B^‘C^‘D^‘. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bài 3 :

Đề bài cung cấp cho chúng ta những dữ liệu sau đây : Cho hình bình hành ABCD. Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng: 

Lời giải:

Bài 4 :

Đề bài cung cấp cho t những dữ kiện sau đây :  Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của AB và CD.

Lời giải:

 

Bài 5 :

Đề bài cho ta như sau : Cho hình tứ diện ABCD. Hãy xác định hai điểm E, F sao cho :

Lời giải:

a) Lấy điểm G sao cho 

⇒ G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC.

Khi đó 

⇒ E là đỉnh còn lại của hình bình hành AGED.

Hay E là đường chéo của hình hộp có ba cạnh lần lượt là AB; AC; AD.

⇒ F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGF

Hay F là điểm đối xứng với E qua G.

Bài 6 :

Bài tập của chúng ta như sau : Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

Bài 7 :

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của đoạn MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian. Chứng minh rằng :

Lời giải:

 

Bài 8 :

Đề bài của chúng ta gồm những dữ liệu sau đây : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA’→=a→; AB→=b→; AC→=c→ . Hãy phân tích (hay biểu thị) các vectơ B’C→, BC’→ qua các vectơ a→ ,b→ , c→

Lời giải:

Bài 9 :

Đề bài của chúng ta như sau :

Lời giải:

 

Do đó, ba vecto AB→ , MN→ , SC→ đồng phẳng

Bài 10 :

Lời giải:

+ Hình bình hành ADHE có:

K = AH ∩ DE ⇒ KA = KH.

Hình bình hành BDHF có:

I = BH ∩ FD ⇒ IH = IB.

ΔHAB có: KA= KH; IH = IB

⇒ KI là đường trung bình của ΔHAB

⇒ KI // AB.

⇒ KI // (ABCD).

+ FG // BC

⇒ FG // (ABCD)

+  có giá là AC; KI; FG song song với (ABCD)

⇒  đồng phẳng.