Lý thuyết cơ bản và bài tập nâng cao về tam thức bậc 2

Tam thức bậc 2 là gì? Cách biểu diễn dấu của tam thức bậc 2? Để giúp các em hiểu rõ hơn về tam thức bậc hai, cũng như có thể linh hoạt xử lý các bài tập về tam thức bậc hai. Hãy cùng toppy.vn tìm hiểu ngay tam thức bậc 2 qua bài viết dưới đây nhé!

Kiến thức cần đạt được

• Hiểu được thế nào là tam thức bậc hai.
• Nắm được định lý thuận và đảo của dấu tam thức bậc hai.
• Từ các định lý, lý thuyết đã học có thể ứng dụng vào làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về tam thức bậc 2.

Cơ sở lý thuyết

Thế nào là tam thức bậc hai ?

Định lý thuận và đảo về dấu của tam thức bậc 2

• Định lí

Định lý về dấu của tam thức bậc 2 có thể minh họa qua hình sau:

• Chú ý

Dấu của tam thức bậc hai sẽ được thể hiện như sau:

• Nhận xét

Ta có tam thức bậc hai: ax² + bx + c

>> Xem thêm: Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Lý thuyết và cách giải bài tập

Hướng dẫn làm bài tập

Toppy.vn sẽ hướng dẫn các bạn một bài tập SGK và một số ví dụ cụ thể về cách xét dấu tam thức bậc 2.

Bài tập SGK

Bài 1: SGK – 105

a) Xét tam thức bậc hai f(x): 5x² -3x + 1

Áp dụng Δ = b2 -4ac = 32– 4.5.1 = -11 < 0 => f(x) cùng dấu với a

a = 5 >0 => f(x) > 0 với ∀ x∈R.

b) Ta có tam thức f(x): -2x² +3x + 5

Ta có Δ = 49 > 0

Ta có 2 nghiệm phân biệt

x₁ = -1; x₂ = 5/2, có hệ số a = -2 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Ta có: 

f(x) > 0 khi x ∈ tập nghiệm (-1; 5/2).

f(x) = 0 khi x = -1; x = 5/2

f(x) < 0 khi x ∈ ( −∞; -1) ∪ ( 5/2; +∞)

c) Tam thức f(x): x² +12x + 36 có Δ = 0

Tam thức trên có nghiệm kép x = -6, hệ số a =1 > 0

Ta có bảng xét dấu:

Ta có:

f(x) > 0 với mọi x ≠ -6

f(x) = 0 khi x = -6

d) Tam thức bậc hai f(x): ( 2x -3)( x + 5) = 2x² + 7x – 15

Ta có Δ = 169 > 0

Tam thức bậc hai f(x) có 2 nghiệm: x₁ = 3/2; x₂ = -5, với a =2 > 0

Bảng xét dấu:

Ta có:

f(x) > 0 khi x ∈ ( −∞; -5) ∪ ( 3/2; +∞)

f(x) = 0 khi x = -5; x = 3/2

f(x) < 0 khi x ∈ tập nghiệm (-5; 3/2)

Bài 2: SGK – 105

d) f(x) [(3x² – x)(3 – x² )] / [4x² +x – 3]

Một số bài tập nâng cao về tam thức bậc 2

Bài 1. Hãy xét dấu của 3 tam thức bậc hai sau 

f (x) = x²−5x + 6 

g (x) = – x² + 4x + 5

h (x) = 6x² + x + 4

Hướng dẫn giải.

Hệ số a = 6 của tam thức bậc hai f (x), có hai nghiệm là x₁ = 2, x₂ = 3 nên ta có bảng ký hiệu như sau:

Tam thức bậc hai g (x) = – x² + 4x + 5 có các hệ số a = −1 và có hai nghiệm x₁ = −1, x₂ = 5 nên có bảng dấu như sau:

Tam thức bậc hai h (x) = 6x² + x + 4 hệ số a = 6 và <0 nên có bảng tra dấu như sau:

Bài 2: Xét dấu tam thức bậc 2 của các biểu thức sau:

Ta có:

Phương trình (1): – x² + x -1 = 0 có Δ = -3 < 0 => Phương trình vô nghiệm

Phương trình (2): 6x² – 5x + 1 có Δ = 1 > 0 => Phương trình có 2 nghiệm

Bảng xét dấu:

Ta có:

(- x² + x -1)( 6x² – 5x + 1) > 0 khi x ∈ ( ⅓ ; ½)

 (- x² + x -1)( 6x² – 5x + 1) < 0 khi x ∈ ( −∞; ⅓ ) ∪ ( ½ ; +∞)

Ta có phương trình:

x² – x -2 = 0 có Δ = 9 > 0 => Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 2

– x² + 3x + 4 = 0 có Δ = 25 >0 => phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 4

Bảng xét dấu:

Ta có: 

(x² – x -2) / (– x2 + 3x + 4) > 0 khi x ∈ (2; 4)

(x² – x -2) / (– x² + 3x + 4) < 0 khi x ∈ ( −∞; -1) ∪ (-1; 2) ∪ ( 4 ; +∞)

c) Ta có phương trình:

x³ – 5x + 2 = 0 

⇔ (x-2)( x² + 2x -1) = 0

⇔ x-2 = 0 và x² + 2x -1 = 0 Ta có nghiệm của phương trình là:

x = 2 và x = -1 +- √2

Bảng xét dấu:

Ta có:

x³ – 5x + 2 > 0 khi

x³ – 5x + 2 < 0 khi

d)Ta có:

Bảng xét dấu:

Ta có: x – [(x² – x + 6)/ (-x² +3x +4)] > 0 khi x ∈ ( 2; -1) ∪ (1; 3) ∪ ( 4 ; +∞)

x – [(x² – x + 6)/ (-x² +3x +4)] < 0 khi x ∈ ( −∞; -2) ∪ (-1; 1) ∪ ( 3 ; 4).

Bài 2: Vận dụng kiến thức đã học để tìm m. Sao cho phương trình có nghiệm

a) (x² + 2x)2 – 4m(x² + 2x) + 3m + 1 = 0

b) x⁴ + mx³ + 2mx² +mx +1 =0

Bài 3: Tìm m sao cho f(x) = m(x² – 2)x² -2(m+3)x – m +3 > 0 với ∀ x ∈ ( −∞; 1).

Bài 4: Chứng minh rằng phương trình f(x) = m(x² -9) + x(x-5) = 0 luôn có nghiệm.

Bài 5: So sánh 5 với nghiệm của phương trình 2x² – 12x + 9 =0

Bài 6: So sánh -8 với nghiệm của phương trình 9x² + 3x – (m+2) = 0

Tổng kết

Hy vọng những chia sẻ trên của Toppy.vn sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về tam thức bậc hai, từ đó vận dụng vào các bài toán có thể xét dấu của tam thức bậc 2. Cảm ơn các em đã quan tâm, theo dõi bài viết của Toppy.vn. Đừng quên truy cập website để cập nhập những thông tin, các bài toán bổ ích nữa nhé.