Tiếp tục với một dạng kiến thức trong hình học, bài học hôm nay các em sẽ được học Phương trình mặt phẳng. Bài học có khá nhiều kiến thức mở rộng và quan trọng liên quan đến cách giải phương trình mặt phẳng, các em hãy chăm chỉ đọc lý thuyết và rèn luyện qua các bài tập để nắm rõ được bài học ngày hôm nay nhé! Bài giảng được đội ngũ toppy biên soạn bám sát chương trình SGK cùng với những ví dụ minh họa cụ thể. Cùng đến với bài học ngay nào!
Bài giảng gồm 3 phần chính
- Tổng hơp lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK Hình học 12
- Bài tập tự luyện
Lý thuyết về Phương trình mặt phẳng
Vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Cho mp (P).
Nếu vectơ n→≠0→ và có giá vuông góc với (P) thì n→ được gọi là vectơ pháp tuyến của (P).
Chú ý: Nếu n→ là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn→ với k≠0, cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
Trong KG, cho mp (P) và hai vectơ không cùng phương a→=(a1;a2;a3), b→=(b1;b2;b3) có giá song song hoặc nằm trong (P). Khi đó, nếu n→ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì
Vectơ n→ xác định như trên chính là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ a→ và b→ .
Kí hiệu: n→=[a→,b→] hoặc n→=a→∧b→ .
Ví dụ: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(2;–1;3),B(4;0;1),C(–10;5;3).
Giải
Ta có
AB−→−=(2;1;−2), AC−→−=(−12;6;0).
n→=[AB−→−,AC−→−]=(12;24;24) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1. Định nghĩa:
Phương trình Ax+By+Cz+D=0, trong đó A2+B2+C2≠0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét:
a) (P): Ax+By+Cz+D=0 ⇒ (P) có 1 VTPT là n→=(A;B;C).
b) PT của (P) qua M0=(x0;y0;z0) và có VTPT n→=(A;B;C) là: A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x+3y−z+2=0. Tìm một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Giải
Một véctơ pháp tuyến của (P) là n→=(2;3;−1) .
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M0=(1;−2;3) và có vectơ pháp tuyến n→=(−2;1;4) .
Giải
Phương trình mặt phẳng (P) qua M0=(1;−2;3) và có VTPT n→=(−2;1;4) là:
−2(x−1)+1(y+2)+4(z−4)=0 ⇔ −2x+y+4z−12=0
2. Các trường hợp riêng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P):
Ax+By+Cz+D=0 (1)
Nếu D=0 thì (P) đi qua gốc tọa độ O.
Nếu A=0 thì [(P)⊂Ox(P)//Ox().
Nếu A=B=0 ⇔ [(P)//(0xy)(P)≡(Oxy)()
Khi đó mặt phẳng (P) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) . Phương trình (2) được gọi là phương trình của mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1;0;0),N(0;2;0),P(0;0;3). Hãy viết phương trình mặt phẳng (MNP).
Giải
Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta có phương trình mặt phẳng (MNP) là
x/1+y/2+z/3=1
Hay 6x+3y+2z−6=0.
Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc
1. Điều kiện hai mặt phẳng song song
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (P1),(P2) có phương trình
(P1): A1x+B1y+C1z+D1=0
(P2): A2x+B2y+C2z+D2=0
• (P1)//(P2)
• (P1) cắt (P2)
⇔ n1−→≠kn2−→ ⇔ (A1;B1;C1)≠k(A2;B2;C2)
Ví dụ: Viết PT mp (P) đi qua điểm M(1;−2;3) và song song với mp (Q):2x−3y+z+5=0 .
Giải
Vì (P)//(Q) nên (P) có VTPT n→=(2;−3;1) .
⇒ (P):2(x−1)−3(y+2)+1(z−3)=0
⇔ 2x−3y+z−11=0.
2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc
Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng (P1), (P2) có phương trình
(P1): A1x+B1y+C1z+D1=0
(P2): A2x+B2y+C2z+D2=0
(P1) ⊥ (P2) ⇔ n1−→.n2−→=0
⇔ A1A2+B1B2+C1C2=0
Ví dụ:
1) Xác định m để hai mp sau vuông góc với nhau:
(P):2x−7y+mz+2=0
(Q):3x+y−2z+15=0
2) Viết phương trình mp (P) đi qua hai điểm A(3;1;−1,B(2;−1;4) và vuông góc với mp (Q):2x−y+3z−1=0 .
Giải
1) (P) ⊥ (Q) ⇔ A1A2+B1B2+C1C2=0 ⇔ m=−12
2) (P) có cặp vectơ chỉ phương là:
AB−→−=(−1;−2;5) và nQ−→=(2;−1;3).nP−→=[AB−→−,nQ−→]=(−1;13;5) ⇒ (P):x−13y−5z+5=0
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Định lí: Trong không gian Oxyz, cho (P):Ax+By+Cz+D=0 và điểm M0(x0;y0;z0). Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (P), kí hiệu là d(M0,(P)), được tính theo công thức:
Giải bài tập SGK Phương trình mặt phẳng
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng:
a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận n→ = (2 ; 3 ; 5) làm vec tơ pháp tuyến
b) Đi qua A(0; -1; 2) và song song với giá của mỗi vec tơ u→ = (3; 2; 1) và v→ = (-3; 0; 1).
c) Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0); B(0; -2; 0) và C(0; 0; -1).
Lời giải:
a) Mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận n→ = (2; 3; 5) làm vectơ pháp tuyến là:
2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4) = 0
⇔ 2x + 3y + 5z – 16 = 0.
b) Mặt phẳng nhận u→ và v→ là vec tơ chỉ phương
⇒ nhận 
= (2.1 – 1.0 ; 1.(-3) – 3.1 ; 3.0 – (-3).2) = (2; -6; 6) là vec tơ pháp tuyến.
Mặt phẳng đi qua A(0 ; -1 ; 2) nên có phương trình :
2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0
⇔ 2x – 6y + 6z – 18 = 0
⇔ x – 3y + 3z – 9 = 0
c) 
Mặt phẳng (R) đi qua ba điểm A, B, C nhận 
là hai vec tơ chỉ phương
⇒ Nhận 
= ((-2).(-1) – 0; 0.3 – 3.(-1); 3.0 – 3.(-2)) = (2; 3; 6) là vec tơ pháp tuyến.
(R) đi qua A(-3; 0; 0) nên có phương trình:
2(x + 3) + 3y + 6z = 0
⇔ 2x + 3y + 6z + 6 = 0.
Bài 2
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)
Lời giải:
Bài 3
a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx
b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải:
a) Mặt phẳng Oxy là tập hợp các điểm có cao độ z = 0 nên có phương trình: z = 0.
Tương tự:
Mặt phẳng Oyz: x = 0
Mặt phẳng Ozx: y = 0.
b) Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Oxy): z + 3 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Oyz): x – 2 = 0
Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 6; -3) và song song với (Ozx): y – 6 = 0.
Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng:
a)Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2)
b)Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3)
c)Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)
Lời giải:
a) (P) chứa Ox và điểm P(4; -1; 2).
+ (P) chứa Ox ⇒ nhận i→ = (1; 0; 0) là 1 vtcp
+ (P) chứa O(0 ; 0 ; 0) và P(4 ; -1 ; 2) ⇒ nhận 
= ( 4 ; -1 ; 2) là 1 vtcp
⇒ (P) nhận 
= (0; -2; -1) là 1 vtpt
⇒ (P): -2.(y – 0) – 1.(z – 0) = 0
hay (P) : 2y + z = 0.
b) (Q) chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3)
+ (Q) chứa Oy ⇒ nhận j→ = (0; 1; 0) là 1 vtcp).
+ (Q) chứa O(0 ; 0 ; 0) và Q(1 ; 4 ; -3) ⇒ nhận 
= ( 1 ; 4 ; -3) là 1 vtcp
⇒ (Q) nhận 
= (-3; 0; -1) là 1 vtpt
⇒ (Q): -3(x – 0) – 1.(z – 0) = 0
hay (Q): 3x + z = 0.
c) (R) chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7)
+ (R) chứa Oz ⇒ nhận k→ = (0; 0; 1) là 1 vtcp.
+ (R) chứa O(0 ; 0 ; 0) và R(3 ; -4 ; 7) ⇒ nhận 
= ( 3 ; -4 ; 7) là 1 vtcp
⇒ (R) nhận 
= (4; 3; 0) là 1 vtpt
⇒ (R): 4(x – 0) + 3.(y – 0) = 0
hay (R): 4x + 3y = 0.
Bài 5
Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)
a)Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD)
b)Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.
Lời giải:
Bài 6
Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng (β) : 2x – y + 3z + 4 = 0
Lời giải:
Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng ( β) : 2x – y + 3z + 4 = 0 nên phương trình của mp(α) có dạng 2x – y + 3z + D = 0
Vì M(2; -1; 2) ∈ mp(α) nên 4 + 1 + 6 + D = 0 <=> D = -11
Vậy phương trình của mp(α) là: 2x – y + 3z – 11= 0
Bài 7
Lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng ( β) : 2x – y + z – 7 = 0
Lời giải:
Bài 8
Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;
a)2x + my + 3z – 5 = 0 và nx – 8y – 6z + 2 =0
b)3x – 5y + mz – 3 = 0 và 2x + ny – 3z + 1 = 0
Lời giải:
Bài 9
Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a) 2x – y + 2z – 9 = 0 (α)
b) 12x – 5z + 5 = 0 ( β)
c) x = 0 ( γ;)
Lời giải:
Bài 10
giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.
a)Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.
b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O ≡ A; 
⇒ A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0).
A’(0; 0; 1); B’(1; 0; 1); C’(1; 1; 1); D’(0; 1; 1).
a)
⇒ Vectơ pháp tuyến của (AB’D’) là:
⇒ Vectơ pháp tuyến của (BC’D) là:
⇒ (AB’D’) // (BC’D).
b) Mặt phẳng (BC’D) có VTPT 
(1;1; -1) và qua B (1; 0;0) nên có phương trình:
1( x- 1) + 1( y – 0) – 1( z- 0)= 0 hay x + y – z – 1 = 0
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB’D’) và (BC’D) chính là khoảng cách từ A đến (BC’D) và bằng :
Lời kết:
Kết thúc bài học Phương trình mặt phẳng, các em đã làm được các bài tập chưa? Lý thuyết có gì khó không nào? Nếu có hãy gửi phản hồi về với Toppy để thầy cô chủ động hỗ trợ giúp các em dễ hiểu hơn nhé! Các bài tập tự luyện đa dạng từ cơ bản đến nâng cao theo từng chủ đề đều có tất cả trên website Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.
