Nhị thức Newton – Giải bài tập SGK Toán 11

Ở chương trình Vật lý 9, chúng ta đã biết đến Newton qua định lý, định luật. Lên 11, các em sẽ được học thêm về Newton qua chương trình Toán học với bài: Nhị thức Newton. Bài giảng: Nhị thức Newton được Toppy biên soạn với mục đích giúp các em học sinh  tổng hợp lại kiến thức lý thuyết và làm tốt các dạng bài tập liên quan. Hãy cùng Toppy khám phá bài học ngay nhé!

Các phần kiến thức trong bài

• Tổng hợp lý thuyết cơ bản cần nắm
• Hướng dẫn giải bài tập SGK
• Bài tập tự luyện giúp em tiến bộ

Tổng hợp lý thuyết về Nhị thức Newton

Công thức nhị thức Newton

c. 💡Chú ý

Trong biểu thức ở vế phải của công thức (1)

• Số các hạng tử là (n+1).
• Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước a0=b0=1

Tam giác Pascan

Trên đây ta thấy muốn khai triển (a+b)^n  thành đa thức, ta cần biết n+1 sốcó mặt trong công thức nhị thức Niu-tơn. Các số này có thể tính được bằng cách sử dụng bảng số sau.

 Bảng số này do nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 và được người ta gọi là tam giác Pa-xcan.

 Tam giác Pa-xcan được thiết lập theo quy luật sau:

• Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1.
• Nếu biết hàng thứ  n(n≥1) thì hàng thứ n+1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ   rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng.

💡 Chú ý:

Giải bài tập SGK Toán 11 Nhị thức Newton

Bài 1 (trang 57 SGK Đại số 11): Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu – tơn:

Lời giải:

Bài 2 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm hệ số của x³ trong khai triển của biểu thức : 

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển  là:

+ x³ ứng với 6 – 3k = 3 ⇔ k = 1.

Vậy hệ số của x³ là: 

Bài 3 (trang 58 SGK Đại số 11): Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 – 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát của khai triển (1 – 3x)ⁿ là:

+ Số hạng chứa x² ứng với k = 2.

Hệ số của x² là 90 nên ta có:

Vậy n = 5.

Bài 4 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 

Lời giải:

+ Số hạng tổng quát trong khai triển  là:

+ Số hạng không chứa x tương ứng với 24 – 4k = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là: 

Bài 5 (trang 58 SGK Đại số 11): Tìm khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁷ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

Lời giải:

Đặt S là tổng các hệ số của đa thức khai triển.

Ta có:

Vậy tổng các hệ số của đa thức khai triển bằng -1.

Bài 6 (trang 58 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng:

a) 11¹⁰ – 1 chia hết cho 100

b) 101¹⁰⁰ – 1 chia hết cho 10.000

c)  là một số nguyên

Lời giải:

a) Ta có; 11¹⁰ = (10+1)¹⁰ ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Do đó, 11¹⁰ -1 chia hết cho 100

b) Ta có: 101¹⁰ = (100+1)¹⁰ ( khai triển nhị thức Niu- tơn )

Do đó, 101¹⁰ -1 chia hết cho 10000

Bài tập luyện tập Nhị thức Newton

Các bài tập do iToan biên soạn giúp các em luyện tập tư duy làm bài trắc nghiệm, hiểu và ghi nhớ kiến thức tốt hơn!

Phần câu hỏi

Câu 1: Trong khai triển (2a−b)^5 , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:

A. -80

B. 80

C. -10

D. 10

Câu 2: 

Câu 3:

A. 60

B. 80

C. 100

D. 160

Câu 4: Trong khai triển (2a−1)^6 , tổng ba số hạng đầu là:

A. 2a^6−6a^5+15a^4 .

B. 2a^6−15a^5+30a^4.

C. 64a^6−192a^5+480a^4

D. 64a^6−192a^5+240a^4.

Phần đáp án

1.B    2.D      3.A      4.D

Lời kết

Nhị thức Newton là phần kiến thức cơ bảng em cần ghi nhớ và thành thạo để có thể học tốt toán Tổ hợp – Xác suất. Để nghe bài giảng chi tiết từ thầy cô và làm thêm các bài tập luyện tập, các em có thể tìm kiếm trên trang web Toppy. 

Chúc các em học tập tốt!