Các em đã từng nghe qua “Mặt tròn xoay” chưa nhỉ? Bài học hôm nay, Toppy cùng các em sẽ đi tìm hiểu một loại kiến thức mới trong chương trình SGK Toán lớp 12, đó là “Khái niệm mặt tròn xoay“. Không biết mặt tròn xoay nghĩa là gì nhỉ, mặt tròn xoay có những tính chất, công thức tính là gì? Hãy cùng khám phá bài học ngay để hiểu rõ hơn khái niệm mặt tròn xoay nha!
Mục tiêu bài giảng
Sau khi học xong bài học này, các em cần nắm được những kiến thức, kĩ năng sau:
- Khái niệm mặt tròn xoay
- Hình nón tròn xoay và mặt nón tròn xoay
- Tính được diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
- Tính thể tích của mặt tròn xoay
Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay
Sự tạo thành mặt tròn xoay
Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng △ và một đường C. Khi quay mặt phẳng (P) quanh △ một góc 360 thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc △ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với △ . Như vậy khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng △ thì đường C sẽ tạo nên một hình gọi là mặt tròn xoay.
Đường C gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng △ được gọi là trục của mặt tròn xoay.
Mặt nón tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và △ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 00<β<900. Khi quay mặt phẳng (P xung quanh △ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. Người ta còn gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón. Đường thẳng △ gọi là trục, đường thẳng d gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.
2. Hình nón tròn xoay và mặt nón tròn xoay
a. Hình nón tròn xoay
– Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt hình nón.
+ Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón.
+ Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.
+ Độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy.
+ Độ dài OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.
+ Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.
b. Khối nón tròn xoay
– Khối nón tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó.
– Khối nón tròn xoay gọi tắt là khối nón.
– Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón ấy.
– Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón.
– Ta gọi đỉnh, mặt, đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt, đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.
3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
a. Định nghĩa
Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn.
b. Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay
– Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Sxq=πrl
– Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.
Sπ=πrl+πr^2
Trong đó:
r là bán kính của đường tròn đáy của hình nón
l là độ dài đường sinh của hình nón.
4. Thể tích khối nón tròn xoay
a. Định nghĩa
Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b. Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay
Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:
5. Ví dụ
Trong không gian cho tam giác OIM vuông tại I, IOMˆ = 300, IM=a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay.
a. Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
b. Tính thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón tròn xoay nói trên.
Giải
Mặt trụ tròn xoay
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng △ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh △ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.
Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay là mặt trụ.
Đường thẳng △ gọi là trục, đường thẳng l gọi là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.
2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
a. Hình trụ tròn xoay
– Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB, thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn được gọi tắt là hình trụ.
– Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
– Độ dài đoạn CD được gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
– Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnhCD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
b. Khối trụ tròn xoay
– Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó.
– Khối trụ tòn xoay được gọi tắt là khối trụ.
– Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ gọi là những điểm trong của khối trụ.
– Mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thứ tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.
3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay
a. Định nghĩa
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh tăng lên vô hạn.
b. Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ
Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.
Sxq=2πrl
Tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy là diện tích toàn phần của hình trụ.
Sxq=2πrl+2πr2
Trong đó:
r là bán kính của hình trụ.
l là độ dài đường sinh của hình trụ.
4. Thể tích của khối trụ tròn xoay
a. Định nghĩa
Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
b. Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay
Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:
V=Bh
Nếu bán kính đáy bằng r thì V=πr2h
Giải bài tập SGK Hình học 12 Khái niệm mặt tròn xoay
Tổng hợp các bài tập & hướng dẫn giải bài tập trang SGK Hình học 12!
Bài 1
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M nằm trên đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P). Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên một mặt trụ tròn xoay. Hãy xác định trục và bán kính của mặt trụ đó.
Lời giải:
Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại tâm O của đường tròn (T).
Từ điểm M trên đường tròn (T), vẽ đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P).
Khi đó đường thẳng Δ song song với d và luôn cách d một khoảng bằng r.
Bài 2
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư,
b) Ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của nó.
c) Một tam giác vuông kể cả các điểm trong của tam giác vuông đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của hình chữ nhật đó khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
Lời giải:
a) Khi quay một hình chữ nhật xung quanh đường thẳng chứa một cạnh thì ta được một hình trụ
b) Khi quay một tam giác cân xung quanh trục đối xứng của nó ta được một hình nón tròn xoay
c) Một tam giác vuông kể cả điểm trong của nó khi quay xung quanh một đường thẳng chứa một cạnh góc vuông thì tạo ra một khối nón tròn xuay.
d) Một hình chữ nhật kể cả các điểm trong của nó khi quay quanh một đường thẳng chứa một cạnh thì tạo ra một khối trụ tròn xoay
Bài 3
Một hình nón có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a)Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
b)Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó.
c)Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó
Lời giải:
a. Độ dài đường sinh của hình nón đã cho là:
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là;
b. Ta có:
c. Gọi hình nón đã cho có đỉnh là S và H là tâm đường tròn đáy.
Thiết diện đi qua đỉnh S là tam giác SAC (với A và C thuộc đường tròn đáy)
Gọi M là trung điểm của AC.
Do đó, d( H; (SAC))= HI = 12
Trong tam giác vuông SHM ta có:
Trong tam giác vuông HAM ta có:
AM2 = HA2 – HM2 = 252 – 152 = 400 nên AM = 20 (cm)
Ta có:
Do đó, diện tích thiết diện SAC là:
Bài 4
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20cm. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10cm. Chứng tỏ rằng đường thẳng d luôn nằm trên một mặt nón, hãy xác định mặt nón đó (trục và góc ở đỉnh).
Lời giải:
Từ B vẽ đường thẳng vuông góc với d và cắt d tại H.
Ta có BH = 10cm = d(B,d)
Vậy đường thẳng d nằm trên mặt nón có đỉnh là A, trục là đường thẳng AB và góc ở đỉnh là 2α = 60o
Bài 5
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a)Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ tạo nên.
b)Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Lời giải:
a. Do khoảng cách hai đáy là nên chiều cao của hình trụ (đồng thời là độ dài đường sinh) là h = l = 7.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Sxq = 2π.r.l = 2π.5.7 = 70π (cm2 ).
Thể tích của khối trụ được tạo nên là:
V = πr2.h = π.52.7 = 175π ( cm3 )
b. Mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục 3cm, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác AA1B1B.
Gọi H là trung điểm của AB.
Ta có 
Suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)), (1)
Lại có: OO1// mp (AA1B1B) , (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH = d(O; (AA1B1B)= d( OO1, (AA1B1B) ) = 3 cm
* Xét tam giác AOH vuông tại H ta có:
AH2 = AO2 – OH2 = 52 -32 = 16
⇒ AH = 4cm ⇒ AB = 2AH = 8cm
Diện tích của thiết diện cần tính là :
SAA1B1B = AB. AA1 = 8. 7 = 56 (cm2)
Bài 6
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Lời giải:
Bài 7
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r √3
a)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b)Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
c)Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30o.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Lời giải:
Bài 8
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O‘;r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO’ = r√3 . Một hình nón có đỉnh là O’ và có đáy là hình tròn (O;r).
a)Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số S1/S2 .
b)Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Lời giải:
Bài 9
Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a √2
a)Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.
b)Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón góc 60o.Tính diện tích tam giác SBC.
Lời giải:
Bài 10
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.
Lời giải:
Lời kết:
Vậy là chúng ta đã kết thúc Khái niệm mặt tròn xoay rồi. Các em đã hiểu khái niệm và cách tính mặt tròn xoay chưa? Dạng bài này khá hay, tuy nhiên sẽ cần khả năng tư duy cao, vì vậy các em hãy chăm chỉ làm bài tập để nắm rõ bài học ngay nhé! Để học thêm nhiều bài giảng khác trong chương trình Toán 12 cũng như luyện thi các chứng chỉ tiếng anh, các em có thể đăng kí học trên Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.
