Cấp số cộng – Giải bài tập SGK Toán 11

Trong chương trình Đại số 11, các em sẽ được làm quen và học về Cấp số cộng. Vậy cấp số cộng là gì, liệu chúng có liên quan gì đến dãy số mà ở bài học trước chúng ta đã học hay không? Hãy cùng Toppy đến với bài học: Cấp số cộng, để hiểu rõ và làm được các dạng toán liên quan đến Cấp số cộng nhé! 

Lý thuyết cần nắm về Cấp số cộng

Định nghĩa

Định nghĩa: 

• Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
• Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
• Nếu (un) là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi un=un−1+d  với n∈N∗(1)

Đặc biệt khi d=0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Ví dụ: Chứng minh dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng.

Ta có:

−3=1+(−4) ; −11=−7+(−4);

−7=−3+(−4); −15=−11+(−4);

Nên theo định nghĩa, dãy số 1,−3,−7,−11,−15 là một cấp số cộng với công sai d=−4.

Số hạng tổng quát

Định lý 1: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức

un=u1+(n−1)dvới n≥2 (2)

Ví dụ: Cho cấp số cộng (un), biết  u1=−5,d=3

a. Tìm  u15

b. Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu.

Giải

a. Theo công thức (2) ta có  u15=−5+(15−1)×3=37

b. Theo công thức (2) ta có un=−5+(n−1)×3

Vì un=100 nên −5+(n−1)×3=100⇔n=36

Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó

Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔a+c=2b.

Tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=3n−1.

a. Chứng minh dãy (un) là cấp số cộng. Tìm u1 và d.

b. Tính tổng của 50 số hạng đẩu.

c. Biết Sn=260, tìm n.

Giải

a. Vì un=3n−1 nên u1=2.

Với n≥1, xét hiệu un+1−un=3(n+1)−1−(3n−1)=3,

⇒un+1=un+3

Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d=3.

b. Vì u1=2,d=3,n=50 nên theo công thức (4′) ta có

S50=50.2+50.49/ 2×3=3775

c. Vì u1=2,d=3,Sn=260 nên theo công thức (4′) ta có

Sn=n×2+n(n−1)/ 2×3=260⇔3n2+n−520=0⇔n=13

Giải bài tập SGK Đại số 11 Cấp số cộng

Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11):

Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó.

Lời giải:

a. Vì u_n = 5 – 2n nên u₁ = 5 – 2 = 3

Xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = [5 – 2(n + 1)] – (5 – 2n) = 5 – 2n – 2 – 5 + 2n = -2

⇒ u_n+1 = u_n – 2

Vậy (u_n) là cấp số cộng với công sai d = – 2

c. u_n = 3ⁿ ⇒ u₁ = 3

giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:

u_n+1 – u_n = 3ⁿ⁺¹ – 3ⁿ = 3ⁿ . 3 – 3ⁿ = (3 – 1).3ⁿ = 2.3ⁿ

và u_n – u_n-1 = 3ⁿ – 3^n-1 = 3.3^n-1 – 3^n-1 = (3- 1).3^n-1 = 2.3^n-1

⇒ u_n+1 – u_n ≠ u_n – u_{n– 1} (vì 3ⁿ ≠ 3^n-1, ∀ n )

⇒ (u_n) không phải là cấp số cộng.

Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11):

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:

Lời giải:

a) Ta có : u₃ = u₁ + 2d ;

u₅ = u₁ + 4d ;

u₆ = u₁ + 5d

Theo đề bài ta có :

b. Ta có: u₇ = u₁ + 6d ; u₃ = u₁ + 2d ; u₂ = u₁ + d

Do đó theo đề bài ta có:

Lời kết

Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Cấp số cộng cũng là một trong những dạng toán quan trọng liên quan đến đề thi THPT Quốc gia. Các em hãy đọc thật kỹ kiến thức mà Toppy đã biên soạn, cùng những bài tập phía dưới để nắm vững kiến thức ngay từ đầu nhé!

Ngoài ra, các em có thể tham khảo thêm các bài học ở Toppy. Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Toppy có đầy đủ các bài giảng bám sát theo chương trình SGK, giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức.

Chặng đường học tập có nhiều khó khăn và thử thách, hãy đồng hành cùng Toppy em nhé!