Khái niệm dãy số chắc hẳn đã không còn xa lạ với các em rồi phải không nào? Từ cấp 1 cho đến cấp 2, dãy số đều được xuất hiện trong chương trình học của chúng ta. Lên cấp 3, vẫn là dãy số nhưng sẽ được nâng cao và tổng quát hơn. Vậy dãy số ở bài học này khác gì với dãy số ở cấp 1, cấp 2? Hãy cùng Toppy khám phá bài học ngay nhé!
Bài giảng gồm 3 phần chính
- Tổng hợp lý thuyết cần nắm
- Hướng dẫn giải bài tập SGK Đại số 11 trang
- Bài tập tự luyện
Lý thuyết cần nắm bài Dãy số
Định nghĩa dãy số
a. Định nghĩa dãy số
Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là là dãy số). Kí hiệu:
Mỗi giá trị của hàm số u được gọi là một số hạng của dãy số, u(1) được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), u(2) được gọi là số hạng thứ hai…
Người ta thường kí hiệu các giá trị u(1),u(2),... tương ứng bởi u1,u2,... và thường kí hiệu dãy số u=u(n) bởi (un) và gọi un là số hạng tổng quát của dãy số đó.
Dãy số (un) thường được viết dưới dạng khai triển: u1,u2,...,un,...,
Ví dụ: Dãy các số tự nhiên lẻ 1,3,5,7,…, có số hạng đầu là u1=1 , số hạng tổng quát un=2n−1
b. Dãy số hữu hạn
- Mỗi hàm số u xác định trên tập M={1,2,3,...,m} với được gọi là một dãy số hữu hạn.
- Dạng khai triển của nó là , trong đó là số hạng đầu, là số hạng cuối.
Ví dụ: −5,−2,1,4,7,10,13 là dãy số hữu hạn có u1=−5,u7=13
Cách cho một dãy số
a. Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
Ví dụ: Cho dãy un với un=2n2−3n+2 (1)
Từ công thức (1) ta có thể xác định được bất kì số hạng nào của dãy các số. Chẳng hạn,
u3=2.32−3.3+2=11
Nếu viết dãy sau dưới dạng khai triển ta được
1,4,11,22,…,2n2−3n+2
b. Dãy số cho bằng công thức mô tả
Ví dụ: Số π là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
π=3,141592653589…
Nếu lập dãy (un) với un là giá trị gần đúng thiếu của số π với sai số tuyệt đối thì
u1=3,1;u2=3,14;u3=3,141;u4=3,1414;…
Đó là dãy các số cho bằng phương pháp mô tả, trong đó chỉ ra cách viết các số hạng liên tiếp của dãy.
c. Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cho một dãy các số bằng phương pháp truy hồi tức là:
- Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.
Giải bài tập SGK Dãy số
Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11):
Viết năm số hạng đầu của dãy có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:
Lời giải:
Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11):
Cho dãy (un), biết u1 = – 1, un+ 1 = un + 3 với n ≥ 1
a. Viết năm số hạng đầu của dãy trên;
b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4
Lời giải:
a. u1 = – 1, un + 1 = un + 3 với n > 1
u1 = – 1;
u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2
u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5
u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8
u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11
b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1)
+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 – 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4.
+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) – 4
Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.
⇒ (1) đúng với n = k + 1
Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.
Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11):
Dãy các số (un) cho bởi u1 = 3, un+1 = √(1+un2) , n > 1
a. Viết năm số hạng đầu của dãy.
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Lời giải:
a. Năm số hạng đầu của dãy sau:
b. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy sau:
un =√(n+8) (1)
Rõ ràng (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k, nghĩa là uk = √(k+8)
⇒ (1) đúng với n = k + 1
⇒ (1) đúng với mọi n ∈ N*
Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11):
Xét tính tăng, giảm của các dãy (un), biết:
Lời giải:
a. Với mọi n ∈ N ta có:
⇒ (un) là dãy các số giảm.
Với mọi n ∈ N có:
⇒ (un) là dãy các số tăng.
c. un = (-1)n.(2n + 1)
Nhận xét: u1 < 0, u2 > 0, u3 < 0, u4 > 0, …
⇒ u1 < u2, u2 > u3, u3 < u4, …
⇒ dãy số (un) không tăng, không giảm
với n ∈ N*, n ≥ 1
Xét:
⇒ un + 1 – un < 0 ⇒ un + 1 < un
Vậy (un) là dãy số giảm
Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11):
Trong các dãy (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
Lời giải:
a. un = 2n2 – 1
+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n2 ≥ 1
⇒ un = 2n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1.
⇒ un ≥ 1
⇒ dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.
+ (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*.
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
b. Ta có : 
∀ n ≥ 1.
⇒ (un) bị chặn dưới
∀ n ≥ 1.
⇒ (un) bị chặn trên.
Vậy (un) là dãy bị chặn.
+ Ta có : 2n2 – 1 > 0 ∀ n ∈ N*
⇒ 
∀ n ∈ N*.
⇒ (un) bị chặn dưới.
+ 2n2 – 1 ≥ 2.1 – 1 = 1
⇒ 
∀ n ∈ N*
d. un = sin n + cos n.
Vậy dãy số (un) bị chặn.
Bài tập tự luyện Dãy số
Các bài tập tự luyện của iToan sẽ giúp các em rèn luyện tư duy logic, giải nhanh các bài toán trắc nghiệm!
Phần câu hỏi
Câu 1: Cho dãy có 4 số hạng đầu là:−1;3;19;53 . Hãy tìm một quy luật của dãy trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.
A. u10=97
B. u10=71
C. u10=1414
D. u10=971
Câu 2: Cho dãy các số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy các số này là:
A. un=7n+7
B. un=7n
C. un=7n+1
D. un: Không viết được dưới dạng công thức.
Câu 3:
Câu 4:
Câu 5:
Phần đáp án
1.A 2.C 3.A 4.B 5.A
Lời kết
Qua bài học, chúng ta đã nắm chắc được khái niệm về dãy số, dãy số hữu hạn và các dạng của dãy số chưa nào? Dãy số là dạng toán được ứng dụng khá nhiều trong đề thi THPT Quốc gia. Để ôn tập và củng cố thêm về dạng toán này cũng như nhiều dạng khác, các em có thể học trực tuyến với nền tảng Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Toppy có đầy đủ các bài giảng bám sát theo chương trình SGK, giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức.
Chặng đường học tập có nhiều khó khăn và thử thách, hãy đồng hành cùng Toppy em nhé!
