Tính chất ba đường phân giác của tam giác – Học toán cấp tốc

Trong một tam giác có không ít các đường đặc biệt. Chúng được sử dụng một cách linh hoạt để giải đáp các bài tập liên quan tới hình học. Ở bài viết lần này, Toppy sẽ cùng đồng hành với các bạn trong việc giải mã tính chất ba đường phân giác của tam giác. Đường phân giác của tam giác là gì? Những tính chất và các bài tập cơ bản về 3 đường phân giác của tam giác. 

Khái niệm đường phân giác của tam giác

Một tam giác bất kỳ đều có 3 góc. Với mỗi góc thì sẽ có một đường phân giác tương ứng khác nhau. Người ta định nghĩa đường phân giác của một góc trong tam giác như sau: 

Đường phân giác của một góc trong tam giác chia cạnh đối diện với góc đó thành 2 đoạn thẳng tỷ lệ với 2 cạnh kề của cạnh đó. 

Tính chất ba đường phân giác của tam giác

3 đường phân giác của tam giác cũng sở hữu những tính chất đặc trung của mình. Cụ thể về tính chất ba đường phân giác của tam giác như sau: 

• Chia các góc lớn thành 2 góc nhỏ có số đo bằng nhau. 
• Chia các cạnh đối diện thành các đoạn tỷ lệ với 2 cạnh kề. 
• 3 đường phân giác giao nhau tại 1 điểm. Điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và chính là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. 

>> Xem thêm: Tính chất tia phân giác của một góc

Bài tập về tính chất ba đường phân giác của tam giác

Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường phân giác AE. Số đo góc EAB bằng bao nhiêu?

1. 40 độ.
2. 45 độ. 
3. 50 độ. 
4. 90 độ. 

Tam giác ABC vuông tại A nên góc A = 90 độ. AE là đường phân giác nên góc EAB bằng một nửa góc A và bằng 45 độ. 

Chọn B. 

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ 2 đường phân giác từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại điểm O. Từ O hạ vuông góc xuống 2 cạnh AB và AC được D và E. Câu nào sau đây đúng?

1. ID = IE. 
2. I là trọng tâm của tam giác ABC. 
3. AI là đường trung tuyến của tam giác ABC. 
4. IA = IB = IC. 

O là giao điểm của 2 đường phân giác nên O chính là tâm đường nội tiếp của tam giác ABC. Do đó, ID = IE ( khoảng cách từ O với các cạnh AB và AC ). 

Chọn A. 

Câu 3: Cho tam giác ABC có điểm O nằm bên trong tam giác. Biết khoảng cách từ điểm này tới 3 cạnh AB, AC và BC là bằng nhau. So sánh số đo góc A1 và A2, B1 và B2. 

1. A1 = A2, B1 = B2
2. A1 > A2, B1 > B2
3. A1 < A2, B1 < B2
4. A1 > A2, B1 < B2

Điểm O cách đều 3 cạnh của tam giác nên điểm O chính là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. Suy ra O là giao điểm của 3 đường phân giác. AO và BO chính là 2 đường phân giác nên góc A1 = A2, B1 = B2.

Chọn A. 

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AM là đường trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A. M thuộc BC. Trên AM lấy một điểm N bất kỳ. Hỏi tam giác NBC là tam giác gì?

1. Tam giác đều. 
2. Tam giác vuông. 
3. Tam giác vuông cân. 
4. Tam giác cân. 

Tam giác ABC cân tại A nên AM vừa là đường trung tuyến nhưng cũng đồng thời là đường phân giác. Suy ra số đó góc BAM = CAM => Tam giác BAN bằng với tam giác CAN (c.g.c) => NB = NC. Vây tam giác NBC là tam giác cân tại N. 

Chọn D. 

Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh AB, AC và BC lần lượt là 4cm, 5cm và 6cm. Kẻ tia phân giác AI với I thuộc BC. Tính tỉ số độ dài IB và IC. 

1. 1/2
2. 1/4
3. 4/5 
4. 2/3 

Vì AI là đường phân giác của tam giác ABC nên; IB/IC = BA/CA = 4/6 = 2/3. 

Câu 6: Cho tam giác ABC có AB = 20 cm, AC = 15 cm và BC = 25 cm. Kẻ đường phân giác BE cắt AC tại E. Tính tỉ số diện tích tam giác ABE và tam giác CBE. 

1. 4/3.
2. 2/3.
3. 5/4.
4. 4/5.

Vì BE là đường phân giác của tam giác ABC từ đỉnh B nên ta có tỉ số: EA/EC = AB/AC = 20/25 = 4/5. Tỉ số diện tích: SABE/SCBE = EA/EC = 4/5. 

Chọn D. 

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác CD. Biết DA = 4cm, DB = 5cm. Tính AC và BC. 

1. AB = 12cm và BC = 14cm
2. AB = 12cm và BC = 15cm
3. AB = 15cm và BC = 12cm
4. AB = 12 cm và BC = 16cm. 

Tam giác ABC có tia phân giác CD => AC/BC = DA/DB = 4/5. 

Vì tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go ta được: AB2 + AC2 = BC2 ⬄ 92 + AC2 = (5/4AC)2 ⬄ 81 + AC2 = 25/16AC2 ⬄ AC2 = 144 ⬄ AC = 12 cm => BC = 15cm. 

Chọn B. 

Tính chất ba đường phân giác của tam giác được xem là tính chất vô cùng quan trọng trong toán hình học. Ở những cấp học cao hơn, nó vẫn được sử dụng một cách phổ biến để giải các bài toán phức tạp hơn. Trên đây là toàn bộ những kiến thức đầy đủ về tính chất của ba đường phân giác tam giác mà Toppy muốn dành tới cho bạn đọc. 

 Tìm hiểu thêm: 

• Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác – Tư duy toán cùng Toppy
• Tính chất đường trung trực 

Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy

Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.

Kho học liệu khổng lồ

Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.

Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả

Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!

Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất

Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.

Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập

Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.