Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10 – Lý thuyết và Bài tập

Phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10 là một khái niệm hoàn toàn mới. Để có thể nắm vững kiến thức ở phần này, các bạn học sinh chỉ cần chú ý đến công thức và một số bài tập đơn giản là có thể hiểu và giải quyết được dạng toán này. Cùng toppy.vn ôn tập lại kiến thức này ngay nhé!

Kiến thức cần nắm

• Hiểu và nắm rõ được thế nào là phương sai và độ lệch chuẩn là gì?
• Vận dụng lý thuyết để giải các bài tập về phương sai và độ lệch chuẩn.
• Biết được các ký hiệu phương sai là gì? Ký hiệu độ lệch chuẩn là gì?

Cơ sở lý thuyết về phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10

Thế nào là phương sai:

Phương sai của một bảng số liệu được định nghĩa là số đặc trưng cho độ phân tán của các số liệu so với số trung bình của nó. Ký hiệu của phương sai cho bảng thống kê có dấu hiệu x là S²_x. Công thức áp dụng tính phương sai:

• Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ta có công thức:

Trong đó: 

n_i, f_i lần lượt là giá trị tần số, tần suất của giá trị x_i.

n là các số liệu thống kê

x¯ là trung bình cộng của các số liệu đã được cho trước.

• Đối với bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp ta sử dụng công thức:

Trong đó có:

c_i, n_i, f_i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị của lớp thứ i.

n là các số liệu thống kê

x¯ là trung bình cộng của các số liệu đã được cho trước.

Ta có phương pháp tính phương sai như sau:

• Tính trung bình cộng của các giá trị đã cho
• Tiếp đến tính độ lệch của các số liệu được thống kê trên
• Áp dụng công thức tính phương sai vào giải bài toán.

Ngoài ra, để tính được phương sai ta còn có thể sử dụng được công thức sau:

Công thức tính độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn được xác định là căn bậc hai của phương sai của một bảng số liệu đã đó. Độ lệch chuẩn của dấu hiệu x được ký hiệu là S_x.

Ta có công thức tính độ lệch chuẩn sau:

Ta có thể viết ngắn gọn công thức tính độ lệch chuẩn theo ∑ như sau:

>> Xem thêm: Thế nào là số gần đúng sai số? Cơ sở lý thuyết và bài tập áp dụng 

Giải bài tập và hướng dẫn cách tính phương sai – SGK

Bài 1: SGK – 128

Ta có thể áp dụng công thức tính phương sai sau vào giải bài toán:

Giải bài toán:

a) Ta có trung bình cộng 

x¯ = 1/30. (3.1150 + 6.1160 + 12.1170 + 6.1180 + 3.1190) = 1170

Ngoài ra ta cũng có thể giải bài toán theo cách sau:

Ta có phương sai: S²_x = 1/30 (3.1150² + 6. 1160² + 12.1170² + 6.1180² + 3.1170²)-1170² = 120

Độ lệch chuẩn:

S_x = √S²_x = √120 ≈ 10,95

b) Ta có số trung bình cộng:

x¯= 13,3/100.15 + 30/100.25 + 40/100.35 + 16,7/100.45 ≈ 31

Cách 2:

Phương sai của giá trị trên là:

S²_x = 1/60(8.15² + 18.25² + 24.35² + 10.45²) – 31² = 84

Độ lệch chuẩn của giá trị x: S_x ≈ 9,2

Bài 2: SGK – 128

a) Ta có: 

b) Ta thấy điểm trung bình môn ngữ văn của lớp 10C và 10D đều bằng nhau là 7,25.

Nhưng phương sai bảng điểm của lớp 10D lại nhỏ hơn phương sai bảng điểm của 10C.

Từ đây ta rút ra được, kết quả làm bài thi môn ngữ văn của lớp 10D đồng đều hơn lớp 10C.

Bài 3: SGK – 128

Giải bài toán:

a) Nhóm cá thứ nhất có trung bình cộng sau:

x¯ = 1/20. (4.0,7 + 6.0.9 + 6.1,1 + 4.1,3) = 1

Nhóm cá thứ 2 có trung bình cộng sau:

y‾ = 1/20. (3.0,6 + 4.0,8 + 6.1 + 4.1,2 + 3.1,4) = 1

b) Nhóm cá thứ nhất có phương sai được tính như sau:

Nhóm cá thứ 2 có phương sai được tính như sau:

c) Ta có trung bình cộng của nhóm cá thứ nhất và nhóm cá thứ 2 đều bằng 1. Nhưng phương sai của nhóm cá thứ nhất lại nhỏ hơn phương sai của nhóm cá thứ 2. Điều này chứng tỏ mức độ phân tán của các giá trị so với giá trị trung bình của nhóm cá thứ 2 sẽ lớn lơn. Khối lượng nhóm cá thứ nhất cũng đồng đều hơn nhóm cá thứ 2.

Một số dạng bài tập nâng cao

Hãy vận dụng kiến thức về trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn lớp 10 hãy giải một số bài toán dưới đây:

Bài 1: Điểm trung bình của môn Toán lớp 10 của các bạn học sinh 10B được thống kê qua bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của điểm trung bình môn Toán trên theo bảng phân bố tần số tần suất.

Bài 2: Cho bảng tần số ghép lớp: Khối lượng của rau cải bó xôi trong một vườn rau ( đơn vị: g). Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của khối lượng rau cải bó xôi đó.

Tổng kết kiến thức

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản về phương sai và độ lệch chuẩn toán 10 trong chương trình học THPT. Hy vọng những chia sẻ về kiến thức trên của toppy.vn sẽ giúp các bạn nắm vững được kiến thức và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán. Nắm chắc cách giải phương sai và độ lệch chuẩn của các giá trị đã cho trước.