Phương pháp quy nạp toán học – Giải bài tập SGK Toán 11

Quy nạp toán học là phương pháp dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kỳ tập hợp nào được xếp theo thứ tự. Nó thường được dùng để chứng minh mệnh đề của tập hợp tất cả các số tự nhiên. Quy nạp toán học là phương pháp chứng minh trực tiếp, chúng ta sẽ có những bước giả sử, giả thuyết để có thể chứng minh được các bài toán khác nhau. Vậy để chứng minh được, hãy cùng Toppy đến với bài giảng: Phương pháp quy nạp toán học, được đội ngũ giáo viên Toppy biên soạn bám sát chương trình nhằm giúp các em nắm chắc được kiến thức. Cùng vào bài học ngay nào!

Bài giảng bao gồm 3 phần chính

• Tổng hợp lý thuyết cần nắm và các ví dụ
• Hướng dẫn giải bài tập SGK
• Các bài tập tự luyện

Tổng hợp lý thuyết về Phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau :

Bước 1 : Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k≥1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Đó là phương pháp quy nạp toán học, hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp.

🍀 Giả sử  P(n) Là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n. Nếu cả hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây được thỏa mãn thì P(n) đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước).

(i)P(m) đúng.

(ii) Với mỗi số tự nhiên k≥m, nếu P(k+1) đúng.

🍀Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắt là phương pháp quy nạp).

CHÚ Ý:

🍀 Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n=m .

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k≥m . Giả sử P(n) đúng khi n=k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1 . Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥m.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì

a. 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2

Giải

a. 1.4+2.7+...+n(3n+1)=n(n+1)2 (1)

Bước 1:

Với n=1: Vế trái của (1) =1.4=4 ; Vế phải của (1) =1(1+1)2=4 . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n=1.

Bước 2: 

Giả sử (1) đúng với n=k . Có nghĩa là ta có: 1.4+2.7+...+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+...+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

Thật vậy 1.4+2.7+⋯+k(3k+1)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 (đpcm)

Vậy (1) đúng khi n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi n∈N∗.

Ta phải chứng minh (2) đúng với n=k+1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Vậy (2) đúng khi n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (2) đúng với mọi n∈N∗.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì 9^n−1 luôn chia hết cho 8.

Giải

Bước 1:

Với n=1: Ta có u1=9^1−1 chia hết cho 8.

Bước 2: 

Giả sử với  n=k≥1 ta có uk=9^k−1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh  uk+1=9^k+1−1 chia hết cho 8

Thật vậy, ta có uk+1=9^k+1−1=9.9^k−1=9(9^k−1)+8=9uk+8  . Vì  9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk+1  cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi n∈N∗ thì un chia hết cho 8.

Giải bài tập SGK Đại số 11 Phương pháp quy nạp

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Lời giải:

a. + Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP

⇒ (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :

Thật vậy :

Ta có :

b) + Với n = 1 :

Vậy (2) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là: 

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là: 

Thật vậy, ta có :

c. + Với n = 1 :

⇒ (3) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :

Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3.

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a. Cách 1: Quy nạp

Đặt A_n = n³ + 3n² + 5n

+ Ta có: với n = 1

A₁ = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

A_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh A_{k + 1} chia hết 3

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k³ + 3k² + 5k ⋮ 3

Mà 3k² + 9k + 9 = 3.(k² + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ A_{k + 1} ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n³ + 3n² + 5n

= n.(n² + 3n + 5)

= n.(n² + 3n + 2 + 3)

= n.(n² + 3n + 2) + 3n

= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n³ + 3n² + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi ∀n ∈ N*

>> Xem thêm các bài giảng khác tại: Toppy.

b. 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9

Đặt A_n = 4ⁿ + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A₁ = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

A_k = (4^k + 15k – 1) chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: A_{k + 1} chia hết 9

Thật vậy, ta có:

A_{k + 1} = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4^k + 15k + 15 – 1

= 4.(4^k + 15k – 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

= 4.(4^k +15k- 1) – 45k + 18

= 4. A_k + (- 45k + 18)

Ta có: A_k⋮ 9 và ( – 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên A_{k + 1} ⋮ 9

Vậy 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. Đặt U_n = n³ + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U₁ = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

U_k = (k³ + 11k) chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: U_{k + 1} = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k +1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12

= U_k + 3(k² + k + 4)

Mà: U_k ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k² + k + 4) ⋮ 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ U_{k + 1} ⋮ 6.

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a.3ⁿ > 3n + 1

b.2ⁿ⁺¹ > 2n + 3

Lời giải:

a. Chứng minh: 3ⁿ > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3^k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3^{k+ 1} > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3^{k + 1} = 3.3^k > 3.(3k + 1) (Vì 3^k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

b. 2^{n + 1} > 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2^k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2^k+2 > 2(k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2^{k + 2} = 2.2^{k + 1}

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2^{n + 1} > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

a.Tính S₁, S₂, S₃

b.Dự đoán công thức tính tổng Sⁿ và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải: