Bài học trước các em đã được làm quen với khối đa diện. Tiếp nối bài học, các em sẽ được học về các dạng hình của khối đa diện đó là khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài giảng sẽ có những khái niệm cùng ví dụ minh họa và những định lý của khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Để tp hợp kiến thức của bài học để vào giải các bài tập tring SGK thì chúng ta cùng đến với bài học ngay nào!
Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện
Khối đa diện lồi
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H) . Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.
Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác , khối hộp, khối tứ diện là những khối đa diện lồi.
Khối đa diện đều
1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
• Các mặt là những đa giác đều p cạnh
• Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
⇒ Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại {p,q}.
2. Định lí
Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là loại {3,3} , loại {4,3} , loại {3,4} , loại {5,3} và loại {3,5} .
Bảng tóm tắt của năm loại khối tứ đa diện đều
Giải bài tập SGK Toán 12 trang 18 Khối đa diện lồi khối đa diện đều
Bài 1 (trang 18 SGK Hình học 12):
Cắt bìa theo mẫu dưới đây (h.123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.
Lời giải:
Bài 2 (trang 18 SGK Hình học 12):
Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).
Lời giải:
Gọi a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)).
Suy ra diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đvdt).
Gọi tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ lần lượt là E, F, M, N, P, Q như hình vẽ.
Suy ra (H’) là bát diện đều EMNPQF.
+ Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2
+ EM là đường trung bình của ΔBA’D
⇒ (H’) là bát diện đều gồm 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng 
⇒ Diện tích một mặt của (H’) là:
⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là:
Vậy tỉ số diện tích cần tính là:
Bài 3 (trang 18 SGK Hình học 12):
Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.
Lời giải:
Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.
Gọi M là trung điểm của BC.
Xét tam giác AMD có:
Tương tự ta có: G1G2 =G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 = 
Tâm các mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài mỗi cạnh là
Vậy tứ diện G1G2G3G4 là tứ diện đều.
Bài 4 (trang 18 SGK Hình học 12):
Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều. Tính các cạnh của nó theo a.
Lời giải:
Giả sử bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.
a) B, C, D, E cách đều A và F suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF
Trong mp (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)
⇒ BCDE là hình thoi
⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Chứng minh tương tự ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
b) Gọi trung điểm BD, CE, AF là O.
Mà AB = AE (= a) ⇒ BO = OE ⇒ BD = EC
⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.
Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.
Chú ý : Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông
Bài tập tự luyện về Khối đa diện
Làm thêm nhiều các bài tập tự luyện giúp các em rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác trắc nghiệm!
Phần câu hỏi
Câu 1: Cho các mệnh đề sau:
I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6.
II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5.
III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4.
Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Chỉ I
B. Chỉ II
C. I và II
D. II và III
Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b .
A. a−b=18
B. a−b=−8
C. a−b=−18
D. a−b=10
Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào sau đây?
A. {3;4}
B. {4;3}
C. {3;5}
D. {5;3}
Phần đáp án
1.C 2.B 3.C 4.B 5.C
Lời kết
Vậy là bài học kết thúc, các em đã hiểu và phân biệt được khối đa diện lồi và khối đa diện đều chưa? Hãy chăm chỉ rèn luyện qua các bài tập trong SGK, ngoài ra tham khảo thêm các nguồn tài liệu khác để bài tập được đa dạng hơn nữa nhé! Các em có thể tìm kiếm trên nền tảng Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.
