Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số – Giải bài tập SGK Toán 12

Chào mừng các em đã đến với bài giảng ngày hôm nay. Hôm nay, chúng ta sẽ được học một phần kiến thức mới, đó là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Phần kiến thức này cơ bản và là nền tảng để các em học được kiến thức nâng cao tới đây và là phần có liên quan đến kỳ thi THPT Quốc gia. Hãy cùng Toppy khám phá bài học để không bỏ xót bất kỳ kiến thức nào ngay nhé!

Mục tiêu bài học Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Sau khi học xong những bài học này, các bạn nhỏ cần nắm được các kiến thức, kĩ năng sau:

• Biết sơ đồ tổng quát để khảo sát hàm số: tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
• Biết cách phân loại các dạng đồ thị hàm số.
• Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba.
• Biết cách phân loại các dạng đồ thị các hàm số trên.

Lý thuyết cần nắm bài Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Sau đây là những lý thuyết trọng tâm nhất được itoan biên soạn, giúp các bạn nắm vững bài học và tạo nền tảng giúp bé áp dụng giải các bài tập:

I. Sơ đồ khảo sát hàm số

1. Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số.

2. Sự biến thiên

• Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm;

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng  0 hoặc không xác định;

+ Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

• Tìm điểm cực trị.
• Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
• Lập bảng biến thiên.

3. Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.

Chú ý: 

• Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox.
• Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục.
• Nên lưu ý đến tính chẵn, lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

II. Khảo sát một số hàm đơn thức và phân thức

1. Hàm số bậc ba  y=ax³+bx²+cx+d(a≠0)

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y=x³+3x²−4

Giải

(1) Tập xác định: D=R

 (2) Sự biến thiên

• Chiều biến thiên

 

 

Trên các khoảng (−∞;−2) và (0;+∞) ,  y′ dương nên hàm số đồng biến.

Trên khoảng (−2;0) âm nên hàm số nghịch biến.

• Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x=−2; y_CD=y(−2)=0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0; y_CT=y(0)=−4

• Các giới hạn tại vô cực

• Bảng biến thiên

(3) Đồ thị

Ta có:  x³+3x²−4=0⇔ x=−2; x=1

Vậy (−2;0)  và (1;0)  là các giao điểm của đồ thị với trục Ox.

Vì y(0)=−4 nên  (−4;0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy. Điểm đó cũng là điểm cực tiểu của đồ thị.

Chú ý: Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng là điểm I(−1;−2) . Hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình y′′=0

III. Sự tương giao giữa các đồ thị

1. Giao điểm của hai đồ thị

• Giả sử hàm số y=f(x) có đồ thị là  C1 và hàm số  y=g(x) có đồ thị là  C2
• Để tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là ta giải phương trình f(x)=g(x)
• Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đồ thị.

2. Sự tiếp xúc của hai đường cong

• Giả sử hàm số  y=f(x) có đồ thị là C1  và hàm số  y=g(x) có đồ thị là  C2
• Hai đường cong  C1 và C2 tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình:

có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó.

Các bạn có thể tham khảo video hướng dẫn bài học dưới đây!

Hướng dẫn giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Phần bài tập trong sách giáo khoa rất sát với lý thuyết nên các bạn cố gắng hoàn thành hết nhé!

Bài 1 trang 43 sách giáo khoa giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

 

Hướng dẫn giải

 

a) Tập xác định: R

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: y’ = 3 –  ; y’=0 <=> 3 –  = 0 <=> x =-1 ( y=4) hoặc x =1 (y =0).

Trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞), y’ âm nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng (-1; 1), y’ dương nên hàm số đồng biến.

Cực trị:

Hàm đạt cực đại tại x =1 ; y_CĐ = y (1) = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1-;  y_CT = y(-1) = 0.

Các giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Vậy (-1; 0) và (2; 0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox.

y(0) = 2 nên (0; 2) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

b) Tập xác định: R.

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: y’ =  + 8x+4

Cực trị

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Vậy, (0; 0) và (-2; 0) là các giao điểm của đồ thị với trục Ox.

y(0) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Toạ độ một số điểm: (-3; -3); (-1; -1).

c) TXĐ : R

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

Vậy, hàm số đồng biến trên R

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Các giới hạn tại vô cực:

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Vậy, (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Ox.

y(0) = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy.

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình: y” = 0

Bài 2 (trang 43 SGK Giải tích 12)

Khảo sát tự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

Lời giải:

a) Hàm số y = -x⁴ + 8x² – 1.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = -4x³ + 16x = -4x(x² – 4)

y’ = 0 ⇔ -4x(x² – 4) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±2

Trên khoảng (-∞; -2) và (0; 2), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (-2; 0) và (2; +∞), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

+ Cực trị :

Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và x = -2 ; yCĐ = 15

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; yCT = -1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Hàm số đã cho là hàm số chẵn, vì:

y(-x) = -(-x)⁴ + 8(-x)² – 1 = -x⁴ + 8x² – 1 = y(x)

⇒ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ Giao với Oy tại điểm (0; -1) (vì y(0) = -1).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-3; -10) và (3; 10).

b) Hàm số y = x⁴ – 2x² + 2.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = 4x³ – 4x = 4x(x² – 1)

y’ = 0 ⇔ 4x(x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 ; x = ±1.

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận :

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1).

Đồ thị hàm số có hai điểm cực tiểu là: (-1; 1) và (1; 1).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 2)

3) Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số cắt trục tung tại (0; 2).

+ Đồ thị hàm số đi qua (-1; 1) và (1; 1).

+ Đồ thị hàm số:

c) Hàm số 

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ y’ = 2x³ + 2x = 2x(x² + 1)

y’ = 0 ⇔ 2x(x² + 1) = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; -3/2).

3) Đồ thị:

+ Hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục hoành tại điểm (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục tung tại điểm 

d) Hàm số y = -2x² – x⁴ + 3.

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = -4x – 4x³ = -4x(1 + x²)

y’ = 0 ⇔ -4x(1 + x²) = 0 ⇔ x = 0

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; +∞).

Đồ thị hàm số có điểm cực đại là: (0; 3).

3) Đồ thị:

+ Hàm số là hàm số chẵn nên nhận trục Oy là trục đối xứng.

+ Hàm số cắt trục Ox tại (-1; 0) và (1; 0).

+ Hàm số cắt trục Oy tại (0; 3).

Bài 3 (trang 43 SGK Giải tích 12)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số phân thức:

Lời giải:

a) Hàm số 

1) Tập xác định: D = R \ {1}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = 1 là tiệm cận đứng.

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -3)

+ Giao với Ox: (-3; 0)

+ Đồ thị nhận (1; 1) là tâm đối xứng.

b) Hàm số 

1) Tập xác định: D = R \ {2}

2) Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞; 2) và (2; +∞).

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

⇒ y = -1 là tiệm cận ngang.

+ Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

+ Giao với Oy: (0; -1/4)

+ Giao với Ox: (1/2; 0)

+ Đồ thị hàm số nhận (2; -1) là tâm đối xứng.

số 

Bài 4 (trang 44 SGK Giải tích 12)

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) x³ – 3x² + 5 = 0 ;

b) -2x³ + 3x² – 2 = 0 ;

c) 2x² – x⁴ = -1

Lời giải:

a) Xét y = f(x) = x³ – 3x² + 5 = 0 (1)

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

f'(x) = 3x² – 6x = 3x(x – 2)

f'(x) = 0 ⇔ x = 0 ; x = 2

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

⇒ phương trình x³ – 3x² + 5 = 0 chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

b) Xét hàm số y = f(x) = -2x³ + 3x² – 2.

– TXĐ: D = R

– Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

y’ = -6x² + 6x = -6x(x – 1)

y’ = 0 ⇔ x = 0 ; x = 1

+ Giới hạn:

+ Bảng biến thiên:

– Đồ thị:

Đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

⇒ phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình -2x³ + 3x² – 2 = 0 chỉ có một nghiệm.

Lời kết

Bài học ngày hôm nay khá dài phải không ạ? Do bài tập phải vẽ và tính toán nên sẽ dài và đói hỏi tính cẩn thận, vì thế các em hãy luyện tập thật nhiều bài tập để ghi nhớ, nắm chắc kiến thức về khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số nhé! Ngoài ra, các bạn có thể truy cập vào trang web Toppy. 

Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.