Đường tròn là một trong những hình học khó với nhiều dạng bài tập khác nhau. Để có thể hiểu được đầy đủ về hình học này cần xác định được lý thuyết cũng như bài tập về đường kính và dây của đường tròn. Chính vì vậy hãy cùng https://toppy.vn/ theo dõi bài giảng sau với những bài tập thông dụng về mảng kiến thức này để các bạn học sinh có thể áp dụng.
I. Lý thuyết về đường kính và dây của đường tròn:
1. Cung và dây cung của đường tròn:
Cho đường tròn có tâm là O và có 2 điểm phân biệt là A và B nằm trên đường tròn thì 2 điểm này sẽ chia đường tròn làm 2 phần. Đối với 2 phần này, mỗi phần sẽ được xem là một cung.
Trong đó:
- 2 điểm A và B được gọi là 2 mút của cung.
- Đoạn thẳng nối liền 2 mút của cung được gọi là dây cung (dây).
- Dây cung đi qua tâm của đường tròn được gọi là đường kính.
Ngoài ra trong một đường tròn còn có mối quan hệ giữa đường kính và dây cung như sau: Đường kính sẽ dài gấp đôi bán kính.
2. So sánh giữa độ dài dây cung và đường kính:
Định lý 1:
- Trong tất cả các dây cung của đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.
Xét một đường tròn tâm O, bán kính R, (O , R) ta có:
- A ∈ O, B ∈ O ⇒ AB ≤ 2R
Chứng minh:
- Trường hợp 1:
Nếu đường kính của đường tròn là dây AB thì AB = 2R
- Trường hợp 2:
Nếu đường kính của đường tròn không phải là dây AB.
Xét ΔOAB, có: AB < OA + OB = R + R = 2R
⇒ Vậy trong một đường tròn tâm O, bán kính R, (O , R) ta luôn có AB ≤ 2R
3. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây của đường tròn:
Định lý 2:
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính cùng với dây đường tròn được định nghĩa như sau: Nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó.
Chứng minh:
- Trường hợp 1:
Nếu đường kính của đường tròn là CD thì hiển nhiên AB sẽ đi qua trung điểm O (tâm) của đường kính CD.
- Trường hợp 2:
Nếu đường kính của đường tròn không phải là CD
Ta gọi I là giao điểm giữa AB và CD. Khi đó ΔOCD có OD = OC = R
⇒ ΔOCD là tam giác cân tại O (Do OC = OD = R)
⇒ Đường cao của ΔOCD là OI và cũng là đường trung tuyến
⇒ ID = IC (Hay I là trung điểm của CD)
Vậy nếu đường kính mà vuông góc với 1 dây trong 1 đường tròn thì đi qua trung điểm của dây đó. Đây cũng chính là định lý quan trọng trong toán 9 đường kính và dây của đường tròn cần nắm vững.
Định lý 3:
- Nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây và không đi qua tâm trong 1 đường tròn thì vuông góc với dây đó.
Chứng minh:
Gọi I là giao điểm của đường kính AB và dây CD.
⇒ ΔOCD là tam giác cân tại O (Do OC = OD = R)
Mà ta có OI là trung tuyến của ΔOCD nên đồng thời cũng là đường cao của tam giác.
⇒ Vậy OI ⊥ CD tại điểm I.
Lưu ý:
- Trong quan hệ vuông góc giữa đường kính với dây đường tròn, nếu đường kính mà đi qua trung điểm của 1 dây thì có thể sẽ không vuông góc với đó.
Giả sử 2 đường kính của đường tròn (O , R) là AB và CD.
Khi đó ta có CD cũng là 1 dây cung của đường tròn tâm O.
Mà O ∈ CD đồng thời OC = OD (do CD là đường kính của đường tròn tâm O)
⇒ O chính là trung điểm của CD.
⇒ Khi đó, đường kính AB sẽ đi qua trung điểm O của CD nhưng đường kính sẽ không vuông góc với dây đường tròn.
>> Xem thêm: Sự xác định đường tròn tính chất đối xứng của đường tròn
II. Bài tập đường kính và dây của đường tròn sbt:
Trên đây là bài giảng về đường kính và dây của đường tròn, để củng cố lại lý thuyết của bài học, dưới đây là một số bài toán cơ bản về dạng kiến thức này giúp các em hệ thống hóa lại kiến thức cho quá trình ôn tập cũng như luyện thi được hiệu quả.
Bài tập 1: (Bài 15/SBT Tập 1, Toán 9, trang 158)
Cho ΔABC, đường cao CK và BH. Chứng minh rằng:
- B, C, H, K là 4 điểm không cùng thuộc 1 đường tròn.
- HK < BC.
Bài tập 2: (Bài 16/SBT Tập 1, Toán 9, trang 159)
Cho tứ giác ABCD có góc B = góc B = 90⁰
- Chứng minh A, B, C, D là 4 điểm cùng thuộc trên 1 đường tròn.
- So sánh độ dài của cung AB và cung BD. Nếu như AC = BD thì ABCD là tứ giác gì? Tại sao?
Bài tập 3: (Bài 17/SBT Tập 1, Toán 9, trang 159)
Cho nửa đường tròn (O,AB) (Tâm O, đường kính AB) và dây EF không cắt với đường kính. Gọi K và I lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và A đến dây EF. Chứng minh IE = KF.
Bài giảng đường kính và dây của đường tròn trên đã cung cấp kiến thức về lý thuyết cũng như các dạng bài tập cơ bản về bài học này. Hy vọng đây sẽ là những thông tin bổ ích dành cho các bạn học sinh và quý phụ huynh có nhu cầu giảng dạy và ôn tập cho con em của mình. Đừng quên thường xuyên truy cập https://toppy.vn/ để cập nhật thêm những kiến thức môn học khác nhé!
Tìm hiểu thêm:
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Liên hệ giữa cung và dây – Lý thuyết cần nhớ cùng Toppy
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn – Học hình toán 9
Giải pháp toàn diện giúp con đạt điểm 9-10 dễ dàng cùng Toppy
Với mục tiêu lấy học sinh làm trung tâm, Toppy chú trọng việc xây dựng cho học sinh một lộ trình học tập cá nhân, giúp học sinh nắm vững căn bản và tiếp cận kiến thức nâng cao nhờ hệ thống nhắc học, thư viện bài tập và đề thi chuẩn khung năng lực từ 9 lên 10.
Kho học liệu khổng lồ
Kho video bài giảng, nội dung minh hoạ sinh động, dễ hiểu, gắn kết học sinh vào hoạt động tự học. Thư viên bài tập, đề thi phong phú, bài tập tự luyện phân cấp nhiều trình độ.Tự luyện – tự chữa bài giúp tăng hiệu quả và rút ngắn thời gian học. Kết hợp phòng thi ảo (Mock Test) có giám thị thật để chuẩn bị sẵn sàng và tháo gỡ nỗi lo về bài thi IELTS.
Nền tảng học tập thông minh, không giới hạn, cam kết hiệu quả
Chỉ cần điện thoại hoặc máy tính/laptop là bạn có thể học bất cứ lúc nào, bất cứ nơi đâu. 100% học viên trải nghiệm tự học cùng TOPPY đều đạt kết quả như mong muốn. Các kỹ năng cần tập trung đều được cải thiện đạt hiệu quả cao. Học lại miễn phí tới khi đạt!
Tự động thiết lập lộ trình học tập tối ưu nhất
Lộ trình học tập cá nhân hóa cho mỗi học viên dựa trên bài kiểm tra đầu vào, hành vi học tập, kết quả luyện tập (tốc độ, điểm số) trên từng đơn vị kiến thức; từ đó tập trung vào các kỹ năng còn yếu và những phần kiến thức học viên chưa nắm vững.
Trợ lý ảo và Cố vấn học tập Online đồng hành hỗ trợ xuyên suốt quá trình học tập
Kết hợp với ứng dụng AI nhắc học, đánh giá học tập thông minh, chi tiết và đội ngũ hỗ trợ thắc mắc 24/7, giúp kèm cặp và động viên học sinh trong suốt quá trình học, tạo sự yên tâm giao phó cho phụ huynh.
