Thế nào là bất đẳng thức lớp 10 – Lý thuyết và phân loại bài tập

Trong chương trình học THPT chúng ta sẽ gặp rất nhiều dạng bài toán về bất đẳng thức từ nâng cao đến cơ bản. Để có thể xử lý tốt những bài tập về bất đẳng thức trong các chương trình THPT. Thì những chia sẻ sắp tới của toppy.vn sẽ giúp các bạn hiểu thế nào là bất đẳng thức lớp 10? Các bất đẳng thức có tính chất như thế nào?

Kiến thức cần nắm vững

• Các bạn cần hiểu và nắm vững được các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 
• Nắm vững các tính chất, quy tắc của bất đẳng thức.
• Từ những cơ sở lý thuyết có thể vận dụng một cách linh hoạt vào giải các bài toán từ cơ bản đến nâng cao trong chương trình học.

Cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức lớp 10

Bất đẳng thức được biểu diễn như thế nào?

Các tính chất và quy tắc của bất đẳng thức

Tính chất bắc cầu:

Quy tắc cộng

Quy tắc cộng của 2 bất đẳng thức cùng chiều

Quy tắc nhân

Quy tắc nhân của 2 bất đẳng thức

Khai căn, quy tắc lũy thừa

Thế nào là bất đẳng thức Cosi – Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

Ta có định lý về bất đẳng thức lớp 10 – Cosi như sau:

Thế nào là bất đẳng thức lớp 10 chứa dấu giá trị tuyệt đối?

>> Xem thêm: Những hằng đẳng thức đáng nhớ – Lý thuyết và thực hành

Một số dạng bài toán thường gặp khi giải bất đẳng thức lớp 10

Dạng bài toán sử dụng định nghĩa và tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Với dạng bài toán này ta có cách giải bài tập sau:

Để có thể chứng minh được bất đẳng thức A ≥ B, hãy áp dụng cách giải sau:

• Chứng minh A – B ≥ 0. Áp dụng hằng đẳng thức để phân tích A – B trở thành phương trình tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. 
• Từ một bất đẳng thức đúng hãy biến đổi nó về một bất đẳng thức cần phải chứng minh.

Ví dụ: Cho 2 số thực x và y. Hãy chứng minh bất đẳng thức:

Giải:

Ta có: a² + b² – 2ab ≥ 0 (*)

 ⇔ (a – b)² ≥  0

Từ bất phương trình (*) ta có => a² + b² ≥ 2ab ⇔ ab ≤ (a² + b²) / 2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi vào việc giải các bài toán 

Để áp dụng được bất đẳng thức côsi vào giải bài toán, ta cần chú ý đến một số điều sau:

• Khi áp dụng bất đẳng thức Cosi thì những số áp dụng phải là những số không âm.
• Bất đẳng thức Côsi thường được áp dụng khi bất đẳng thức cần chứng minh là tổng và tích.
• Dấu “=” xảy ra là khi các số bằng nhau.
• Ngoài ra, có thể áp dụng bất đẳng thức Côsi sau:

Ví dụ: Cho a, b, c là những số dương. Chứng minh:

Cách giải bài tập:

a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi vào bài toán ta có:

=>   Điều cần chứng minh.

Bất đẳng thức sẽ  xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

b) Ta có:

  Tương tự ta có bất phương trình:

=>

Áp dụng bất đẳng thức Cosi khi có 3 số dương:

=> Điều cần phải chứng minh.

Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Hướng dẫn giải bài tập về bất đẳng thức lớp 10 

Bài 1: SGK – 79

Hướng dẫn giải bài tập:

Cách giải bài tập:

Với bài toán này, ta sử dụng các tính chất của bất đẳng thức như nhân cả 2 vế với một số dương, cộng cả 2 vế với một số bất kì.

Giải:

a)

b)

c)

d)

Bài 2: SGK – 79

Hướng dẫn giải bài tập:

Cách giải khác: 

Bài 3: SGK – 79

Hướng dẫn giải bài tập:

a)

b) Từ kết quả ở câu a) ta có:

Bài 4: SGK – 79

Cách giải bài tập:

Áp dụng bất đẳng thức ( x- y)² ≥ 0, Ta có phương trình:

x ² – 2xy + y²  ≥ 0 

⇔ x² – xy + y²  ≥ xy

=> x ≥ 0; y ≥ 0 

=> x + y ≥ 0 

Ta có phương trình:

( x + y) ( x² – xy + y² ) ≥ (x+y) xy

⇔ x³ – xy + y³ ≥ x2y + xy² 

Ngoài ra, ta vẫn còn 1 cách giải khác các bạn có thể tham khảo:

Bài 5: SGK – 79

Cách giải bài tập:

Cách giải khác:

Bài 6: SGK – 79

Cách giải bài tập:

Các bạn áp dụng hệ quả: 2 số dương bất kì có tích không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi có 2 số bằng nhau.

Áp dụng bất đẳng thức Côsi vào giải bài toán.

Giải: 

H là tiếp điểm vuông góc của đường thẳng AB với đường tròn tâm O. Đồng thời OH cũng là đường cao của tam giác ΔAOB. Ta có OH ⊥ AB.

ΔAOB có OH là đường cao nên ta có:

HA.HB = OH² = 1

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

AB = AH + HB ≥ 2√AH.HB = 2√1 = 2

=> ABmin = 2 ⇔ HA = HB = 1

OH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên ΔAOB là tam giác vuông cân.

Ta có: 

OA = OB; AB = 2

Áp dụng định lý Pitago ta có:

OA² + OB² = AB² 

⇔ OA² + OA² = AB² 

⇔ 2OA² = 2²

⇔ OA2 = 2

=> OA = √2

Điểm A nằm trên tia Ox vì thế điểm A sẽ có tọa độ A(√2; 0)

Mà ΔAOB vuông cân nên OA = OB (chứng minh trên) nên OB = √2

Điểm B nằm trên tia Oy nên tọa độ điểm B(0; √2)

=> A(√2; 0) và B(0; √2).

Tổng kết

Trên đây là những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức lớp 10 mà toppy.vn muốn chia sẻ. Hy vọng qua những chia sẻ trên các bạn sẽ hiểu rõ hơn về các dạng bài toán bất đẳng thức. Từ đó có thể vận dụng các tính cách, quy tắc, bất đẳng thức cosi vào các bài tập SGK và nâng cao. Hãy thường xuyên truy cập toppy.vn để cập nhập những kiến thức bổ ích về môn toán lớp 10 nhé!