Một trong những dạng toán trong chương trình lớp 12 quan trọng và có mặt trong đề thi THPT Quốc Gia đó là Tích phân. Tích phân là kiến thức đòi hỏi khả năng tư duy cao, cũng là dạng dễ kiếm điểm, vì vậy các em hãy cố gắng cao độ để học tốt bài học ngày hôm nay. Nắm vững kiến thức để làm chủ trong những kỳ thi ngay nào!
Mục tiêu của bài học tích phân
Kiến thức bài học hôm nay có đôi chút liên quan đến những bài học trước, các bạn cố gắng học tốt những bài học trước và đặt ra mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay nhé!
- Khái niệm, tính chất của tích phân.
- Các phương pháp tính tích phân (phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần)
- Áp dụng kiến thức đã học để giải bài tập liên quan tới hàm số.
Lý thuyết bài học tích phân
Dưới đây là một số phần kiến thức quan trọng cơ bản cô đã biên soạn cho bài học hôm nay, các bạn nhớ học bài kỹ trước khi làm bài tập nhé!
I. Khái niệm
1. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b].
Hiệu số F(b)−F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) trên đoạn [a;b]. Kí hiệu: ∫abf(x)dx.
Vậy:
∫ab: dấu tích phân
a: cận dưới, b: cận trên.
2. Nhận xét
a) Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ∫baf(x)dx hay ∫baf(t)dt. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số. Tức là ∫baf(x)dx=∫baf(t)dt=∫baf(u)du
b) Ý nghĩa hình học: Nếu f(x) liên tục và không âm trên [a,b] thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b là S=∫baf(x)dx
II. Tính chất
Tính chất 1:
∫ba k ⋅ f(x)dx = k ∫ba f(x)dx (k là hằng số )
Tính chất 2:
∫ba [f(x) ± g(x)] dx = ∫ba f(x)dx ± ∫ba g(x)dx
Tính chất 3:
∫ba f(x)dx = ∫ca f(x)dx + ∫bcf(x)dx (a<c<b)
III. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số
a, Định lí
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x=φ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α)=a,φ(β)=b và a≤φ(t)≤b,∀t∈[α;β]. Khi đó
∫ba f(x)dx = ∫βαf(φ(t))φ′(t)dt
b. Phương pháp đổi biến số loại 1
Giả sử cần tính I=∫ab f(x)dx ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Đặt x=u(t) (với u(t) là hàm có đạo hàm liên tục trên [α;β], f(u(t)) xác định trên [α;β] và u(a)=a,u(β)=b) và a≥u(t)≥b.
Bước 2: Thay vào ta có: ∫ba f(x)dx=∫βαf(u(t))u′(t)dt .
Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1
Để tính tích phân I=∫ba f(x)dx, nếu f(x)=g[u(x)]⋅u′(x), ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau
Bước 1: Đặt t=u(x)⇒dt=u′(x)dx.
Đồi cận x=a⇒t=u(a),x=b⇒t=u(b)
Bước 2: Thay vào ta có
2. Phương pháp tích phân từng phần
a, Định lí
Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b] thì:
∫ba u(x) v′(x) dx = (u(x) v(x))|ba−∫ba u′(x) v(x)dx
Hay
∫ba udv = uv|ba − ∫bavdu
Ta thường gặp các dạng sau
Sẽ dễ dàng hơn khi tiếp thu kiến thức mới nếu bạn kết học học lý thuyết và nghe giảng qua video dưới đây!
Hướng dẫn giải bài tập SGK: tích phân
Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!
Bài 1 (trang 112)
Tính:
Kiến thức áp dụng
+ Tích phân từ a đến b của hàm số f(x) có nguyên hàm là F(x) là:
+ Một số nguyên hàm sử dụng:
Hướng dẫn giải
Bài 2 (trang 112)
Tính:
Hướng dẫn giải:
Bài 3 (trang 113)
Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:
Hướng dẫn giải:
Bài 4 (trang 113)
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính:
Hướng dẫn giải:
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
Theo công thức tích phân từng phần ta có:
Theo công thức tích phân từng phần:
Theo công thức tích phân từng phần:
Theo công thức tích phân từng phần:
Bài 5 (trang 113)
Tính:
Hướng dẫn giải:
Bài 6 (trang 113)
Tính 
bằng hai phương pháp:
a) Đổi biến số u = 1 – x;
b) Tính tích phân từng phần.
Hướng dẫn giải:
a) Đặt u = 1 – x;
⇒ du = -dx
Đổi biến :
Theo công thức:
Lời kết:
Kiến thức càng về cuối sẽ càng được nâng cao, nhưng không có nghĩa là khó. Tích phân là một dạng toán đòi hỏi sự tư duy cao, tuy nhiên các em chú ý đến bài học sẽ thấy có những caao rất đơn giản và dễ ăn điểm. Vì vậy hãy dành thời gian để học và ôn luyện các bài tập nhé. Càng làm nhiều các em sẽ càng nhớ và làm tốt được bài tập hơn. Các em có thể tham khảo thêm nhiều bài học thú vị và bổ ích khác tại Toppy.
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Chúc các bạn sẽ thành công trong việc làm chủ môn Giải tích 11 và đạt thật nhiều điểm thưởng.
