Giới hạn của dãy số – Giải bài tập SGK Toán 11

Ở những bài học trước, các em đã được học khái niệm về dãy số và những dạng dãy số. Dãy số được chia làm 2 loại là dãy số vô hạn và dãy số hữu hạn. Vậy giới hạn của dãy số là gì? Bài học này, hãy cùng Toppy khám phá thêm những kiến thức về Dãy số. Bài giảng: Giới hạn của dãy số được đội ngũ giáo viên Toppy biên soạn bám sát với chương trình SGK. Mong rằng qua bài học này, các em sẽ nắm vững được kiến thức và giải được các dạng bài tập có liên quan!

Lý thuyết cần nắm: Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn của dãy số

Bài toán 1: Cho dãy số (un) với un=1n.Viết dạng khai triển của dãy số và biểu diễn hình học dãy số trên trục số ?

a) Nhận xét xem khoảng cách từ (un) tới 0 thay đổi thế nào khi n  trở nên rất lớn?

b) Bắt đầu từ số hạng (un) nào của dãy số thì khoảng cách từ (un) đến 0 nhỏ hơn 0,01?  0,001?

Giải

Biểu diễn un dưới dạng khai triển 1/2,1/3,1/4,1/5,…,1/100…

Kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số

Dựa vào kết quả biểu diễn un=1/n trên trục số ta thấy:

a) Khoảng cách từ (un) tới 0 càng nhỏ khi  n  càng lớn.

b) Từ số hạng thứ 101  trở đi thì khoảng cách từ (un)đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Từ số hạng thứ 1001 trở đi thì khoảng cách từ (un) đến 0 nhỏ hơn 0,001.

Từ đó ta thấy |un|=1/n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Khi đó, ta nói dãy số (un) với un=1/n có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực.

a. Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:

hay un→0 khi n→∞ (Dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cùng).

Ví dụ: Xét dãy số (un) với un=(−1)^n/ n^2. Kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì ta có |un|<1/100.

a) Tìm  n0?

b) Kết luận về giới hạn của dãy số (un)?

Giải

a) Vì kể từ số hạng thứ n0 trở đi thì |un|<1/100, nên

b) Theo phần a) ta thấy, kể từ số hạng thứ 11 trở đi |un|<1100, nên theo định nghĩa ta có

b. Định nghĩa 2

Định lý về giới hạn hữu hạn

Định lý 1:

a) Nếu limun=a và limvn=b thì

lim(un+vn)=a+b

lim(un−vn)=a−b

lim(un.vn)=a⋅b

lim (un/vn)=a/b(b≠0)

b) Nếu un≥0 với mọi n và lim un=a thì a≥0 và lim√un=√a

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q với |q|<1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ: Cấp số nhân có công bội q=1/2;u1=1/2 có năm số hạng đầu tiên u1=1/2;u2=1/4,u3=1/8,u4=1/16,u5=1/32, là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q. Kí hiệu:  S=u1+u2+u3+…+un+…

Giới hạn vô cực

Ta nói dãy số (un) có giới hạn +∞  nếu (un) có thể lớn hơn một số dương bất kì,kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: limun=+∞ hay un→+∞ khi n→+∞

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn  −∞ khi n→+∞ nếu lim(−un)=+∞

Kí hiệu: limun=−∞  hay un→−∞ khi n→+∞

Chú ý: limun=+∞⇔lim(−un)=−∞

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un=n2.

Biểu diễn của (un) trên trục số như sau:

Theo biểu diễn hình học này ta thấy rằng un>10000 kể từ số hạng 101 trở đi. un>10^20 kể từ số hạng 10^10+1 trở đi. Điều đó có nghĩa là un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó limun=+∞.

limnk=+∞ với k nguyên dương;

limqn=+∞  nếu q>1.

Định lí 2: 

a) Nếu limun=a≠0 và limvn=±∞ thì limunv0=0.

b) Nếu limun=a>0,limvn=0 và vn>0 với mọi n thì limunvv=+∞

c) Nếu limun=+∞ và limvn=a>0 thì lim(un.vn)=+∞

Giải bài tập SGK Đại số 11 Giới hạn của dãy số

Bài 1 (trang 121 SGK Đại số 11):

Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian T = 24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người(T được gọi chu kỳ bán rã).

a. Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy số (u_n)

b. Chứng minh rằng (u_n) có giới hạn là 0.

c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10^-6 g.

Lời giải:

Sau 2 chu kì bán rã: 

Sau 3 chu kì bán rã: 

…

Tổng quát : Sau n chu kì bán rã : 

c. Chất phóng xạ không còn độc hại nữa khi khối lượng chất phóng xạ còn lại < 10^-6 g = 10^-9 kg

Vậy sau 30 chu kì = 30.24000 = 720 000 năm thì 1kg chất phóng xạ này không còn độc hại nữa.

Bài 2 (trang 121 SGK Đại số 11):

Biết dãy số (un) thỏa mãn  với mọi n. Chứng minh rằng: lim u_n = 1.

Lời giải:

Đặt v_n = u_n – 1.

Lấy số dương d > 0 bé tùy ý

⇒ luôn tồn tại  thỏa mãn 

⇒  với mọi n ≥ n₀.

⇒ Theo định nghĩa ta có:

Bài 3 (trang 121 SGK Đại số 11):

Tìm các giới hạn sau:

Lời giải:

Bài 4 (trang 122 SGK Đại số 11):

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3,…, n,…, trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới). Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.

a. Gọi u_n là diện tích hình vuông màu xám thứ n. Tính u₁, u₂, u₃ và u_n

b. Tính lim S_n với S_n = u₁ + u₂ + u₃ +…+ u_n

Lời giải:

a.Gọi độ dài cạnh hình vuông là a thì diện tích hình vuông là: S = a²

Cạnh hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó

⇒ Diện tích hình vuông kế tiếp bằng một phần tư diện tích hình vuông trước đó.

Bài 8 (trang 122 SGK Đại số 11):

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Biết lim u_n = 3, lim v_n = + ∞. Tính các giới hạn:

Lời giải: 

Lời kết

Qua bài học này, chúng ta đã nắm vững được kiến thức về Giới hạn của dãy số chưa nào? Hãy bình luận xuống bên dưới những câu hỏi hoặc thắc mắc mà các em muốn hỏi nhé, thầy cố Toppy sẽ giải đáp giúp các em. 

Ngoài ra hãy chăm chỉ làm bài tập mà thầy cô Toppy đã biên soạn cùng những bài tập nâng cao qua trang web của Toppy nhé! Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày. 

Toppy có đầy đủ các bài giảng bám sát theo chương trình SGK, giúp các em củng cố và nâng cao kiến thức.

Chặng đường học tập có nhiều khó khăn và thử thách, hãy đồng hành cùng Toppy em nhé!