Đại cương về phương trình – Lý thuyết và bài tập toán 10 

Phương trình, đây là một khái niệm quen thuộc được tìm hiểu học từ chương trình tiểu học qua các bài toán tìm x. Dạng toán này xuyên suốt, đồng hành cùng các bạn học sinh trong suốt quá trình học THCS và THPT thậm chí là đại học. Để có thể giúp các bạn có thể ôn tập lại toàn bộ kiến thức về phương trình. Hãy cùng toppy tìm hiểu ngay đại cương về phương trình qua bài viết dưới đây.

Kiến thức cần nắm

Hiểu được thế nào là đại cương về phương trình? Phương trình tương đương và phương trình hệ quả là phương trình như thế nào?

Vận dụng những kiến thức, lý thuyết cơ bản để giải các bài tập về phương trình.

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm về các phương trình

Khái niệm về phương trình một ẩn? 

Định nghĩa về phương trình nhiều ẩn

Ví dụ: Ta có phương trình sau:

a) 3x² + 4y = -xy + 7

Đây là phương trình 2 ẩn x và y 

b) x² + 3x – 2y² + 2xy -4z + xz =0 

Phương trình trên là phương trình nhiều ẩn có 3 ẩn đó là x, y và z.

Khái niệm cơ bản về phương trình chứa tham số

Ví dụ: Ta có: (m+2)x -1 = 0 – Đây là phương trình có chứa tham số m, ẩn x.

Lưu ý 1:

Để thuận tiện cho thao tác thực hành, không cần viết rõ tập xác định D của phương trình, chỉ cần nêu các điều kiện của x∈D. Điều kiện này được gọi là điều kiện xác định của phương trình, hay đơn giản là điều kiện của phương trình.

Để đơn giản, chúng tôi coi các hàm được đề cập trong bài viết này được cho bởi các biểu thức. Do đó, theo quy ước của tập hàm cho bởi biểu thức, các điều kiện của phương trình bao gồm điều kiện giá trị của f (x) và g (x), điều kiện cần xác định và các điều kiện chưa biết khác. (Nếu cần thiết)

Lưu ý 2

• Khi giải một phương trình (tức là tìm tập nghiệm của phương trình), ta chỉ cần hoặc chỉ có thể tính được giá trị gần đúng của nghiệm (với một độ chính xác nhất định). Giá trị này được gọi là nghiệm gần đúng của phương trình.

Ví dụ: sử dụng máy tính bỏ túi, chúng tôi tính toán một nghiệm gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của phương trình x3 = 7, tức là x≈1,913

• Nghiệm của phương trình f (x) = g (x) là tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f (x) & y = g (x).

>> Xem thêm: Phương trình quy về phương trình bậc nhất bậc hai – Học Toán 9

Thế nào là phương trình tương đương và phương trình hệ quả

Đại cương về phương trình một tương đương

Phương trình hệ quả

Toán 10 bài tập đại cương về phương trình – Giải bài tập SGK

Bài 1: SGK – 57

Hướng dẫn giải bài toán:

a) Ta có:

3x = 2 (1) ⇔ x = ⅔ 

2x = 3 (2) ⇔ x = 3/2 

Cộng cả 2 vế của phương trình (1) và (2) ta sẽ được phương trình (3) 5x = 5 ⇔ x = 1

Ta có tập nghiệm của phương trình (3) # tập nghiệm của phương trình (1) và (2).

=> Phương trình (3) không tương ứng với bất kỳ phương trình nào đã cho.

b) Phương trình (3) không phải là phương trình hệ quả của 2 phương trình đã cho.

Vì nghiệm của phương trình (1) và (2) đều không phải là nghiệm của phương trình (3).

Bài 2: SGK – 57

Hướng dẫn giải bài toán:

a)

b)

Bài 3: SGK – 57

Hướng dẫn giải bài toán:

a) Ta có:

b) Ta có: 

c)

d)

Bài 4: SGK – 57

Hướng dẫn giải bài toán:

• Tìm các ĐKXĐ của phương trình
• Quy phương trình về phương trình bậc hai
• Loại bỏ phần nghiệm không thỏa mãn rồi đưa ra kết luận cuối cùng.

Giải:

a)

Cách 1:

Cách 2: 

b)

Cách 1: 

Cách 2: 

c) Ta có:

d) Ta có:

Bài tập nâng cao, rèn luyện về phương trình

Các bài tập đại cương về phương trình thường có 2 dạng toán như sau:

• Xác định điều kiện của phương trình đã cho

Phương pháp giải:

• Giải phương trình bằng phép đổi tương đương và hệ quả của chúng.

Phương pháp giải:

Để giải phương trình, ta thực hiện một phép biến đổi để khôi phục phương trình tương đương với phương trình đã cho sẽ dễ giải hơn. Thường dùng một phép biến đổi để giải bài tập. 

• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà vẫn thỏa mãn được điều kiện xác định của phương trình, ta được phương trình tương đương với phương trình đã cho.
• Nhân (chia) cả hai vế với một biểu thức khác không và không thay đổi các điều kiện xác định của phương trình, chúng ta nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.
• Lấy bình phương cả hai vế của phương trình để nhận hệ quả của phương trình đã cho.
• Bình phương cả hai vế của phương trình (luôn có cùng dấu ở cả hai vế) và ta nhận được một phương trình tương đương với phương trình đã cho.

Hãy luyện tập tư duy, rèn luyện qua các bài tập nâng cao dưới đây của toppy.vn.

Bài 1: Cho bất phương trình 2x² – 5x > 0. Hãy tìm x.

Bài 2: Hãy tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình sau:

Bài 3: Xác định ĐKXĐ và tìm nghiệm của phương trình sau:

Bài 4: Xác định điều kiện của phương trình:

Bài 5: Hãy tìm phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(1; -3) và B(-2; 1).

Bài 6: Xác định phương trình đường thẳng có hệ số góc a = -1 đi qua tọa độ điểm A (-2;-3)

Bài 7: Xác định điều kiện của phương trình đã cho:

Bài 8: Hãy tìm m để cặp phương trình sau tương đương

mx² – 3(m+2)x -m+1 = 0 (1)

(m + 3) x² – 2x + m² -10 = 0 (2)

Bài 9: Tìm số nghiệm của các phương trình sau: 

Tổng kết kiến thức đại cương về phương trình

 Trên đây là toàn bộ kiến thức toppy.vn muốn chia sẻ, gửi gắm đến toàn bộ các bạn học sinh lớp 10. Hy vọng những lý thuyết cùng các bài tập trên sẽ giúp bạn mang đến những kiến thức cơ bản nhất về đại cương phương trình. Hãy rèn luyện thêm cho bản thân bằng cách thực hiện nhiều bài toán và dạng toán về phương trình này.