Xin chào các em! Chào mừng các em đã đến với bài học ngày hôm nay với chủ đề Nguyên hàm. Đây là một dạng bài rất hay và cũng là phần quan trọng có trong đề thi THPT Quốc gia. Sẽ có những câu rất đơn giản để các em có thể gỡ điểm trong bài thi, vì vậy chúng ta hãy học thật tốt lý thuyết nguyên hàm để làm tốt hơn nữa nhé! Cùng đến với bài học ngay thôi nào.
Mục tiêu của bài học Nguyên hàm
Kiến thức bài học hôm nay có đôi chút liên quan đến những bài học trước, các bạn cố gắng học tốt những bài học trước và đặt ra mục tiêu cụ thể cho bài học hôm nay nhé!
- Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số.
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
- Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm.
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm.
Lý thuyết bài học Nguyên hàm
Dưới đây là một số phần kiến thức quan trọng cơ bản cô đã biên soạn cho bài học hôm nay, các bạn nhớ học bài kỹ trước khi làm bài tập nhé!
I. Nguyên hàm và tính chất
1. Nguyên hàm
a. Định nghĩa
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F′(x)=f(x) với mọi x∈K .
Ví dụ
Hàm số F(x)=x3 là một nguyên hàm của hàm số f(x)=3x2 trên khoảng (−∞;+∞)
vì F′(x)=(x3)′=3x2=f(x),∀x∈(−∞;+∞) .
b. Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x)=F(x)+C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
c. Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C, với C là một hằng số.
Kí hiệu: ∫f(x)dx=F(x)+C.
Chú ý:
Biểu thức f(x) chính là vi phân của của nguyên hàm F(x) của f(x) , vì dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx .
Ví dụ:
a) Với x∈(−∞;+∞),∫2xdx=x2+C
b) với t∈(−∞;+∞),∫costdt=sint+C
2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1. ∫f′(x)dx=f(x)+C.
Tính chất 2. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)
Tính chất 3. ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx .
Ví dụ
a) ∫(sinx)′dx=∫cosxdx=sinx+C
b) ∫3exdx=3∫exdx=3ex+C
3. Sự tồn tại của nguyên hàm
Định lí 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
II. Các phương pháp tính nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến
a) Định lí 1: Nếu ∫f(u)du=F(u)+C với u=u(x) có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))
b) Hệ quả: Nếu ∫f(u)du=F(u)+C thì ∫f(ax+b)dx=(1/a)F(ax+b)+C,(a≠0)
2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
a. Định lí 2
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx
b. Chú ý
Vì v′(x)dx=dv,u′(x)dx=du nên đẳng thức trên còn được viết ở dang ∫udv=uv−∫vdu
Sẽ dễ dàng hơn khi tiếp thu kiến thức mới nếu bạn kết học học lý thuyết và nghe giảng qua video dưới đây!
Hướng dẫn giải bài tập SGK: Nguyên hàm
Để nắm chắc lý thuyết, cô và các bạn cùng nhau giải các bài tập trong sách giáo khoa nhé!
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:
Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu:
a) f(x) = 3x2 với x ∈ (-∞; +∞);
b) f(x) = 1/(cosx)2 với x ∈ ((-π)/2; π/2).
Lời giải:
F(x) = x3 vì (x3)’ = 3x2
F(x) = tanx vì (tanx)’ = 1/(cosx)2 .
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:
Hãy tìm thêm những nguyên hàm khác của các hàm số nêu trong Ví dụ 1.
Lời giải:
(x) = x2 + 2 do (F(x))’=( x2 + 2)’ = 2x + 0 = 2x. Tổng quát F(x) = x2 + c với c là số thực.
F(x) = lnx + 100, do (F(x))’ = 1/x , x ∈ (0,+∞). Tổng quát F(x)= lnx + c, x ∈ (0,+∞) và với c là số thực.
Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 1 trang 93:
Hãy chứng minh Định lý 1.
Lời giải:
Vì F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K nên (F(x))’ = f(x). Vì C là hằng số nên (C)’ = 0.
Ta có:
(G(x))’ = (F(x) + C)’ = (F(x))’ + (C)’ = f(x) + 0 = f(x)
Vậy G(x) là một nguyên hàm của f(x).
Lời giải:
Ta có [∫f(x) ± ∫g(x)]’= [∫f(x) ]’± [∫g(x) ]’ = f(x)±g(x).
Vậy ∫f(x) ± ∫g(x) = ∫[f(x)±g(x)].
Lời giải:
| f’(x) | f(x) + C |
| 0 | C |
| αxα -1 | xα + C |
| 1/x (x ≠ 0) | ln(x) + C nếu x > 0, ln(-x) + C nếu x < 0. |
| ex | ex + C |
| axlna (a > 1, a ≠ 0) | ax + C |
| Cosx | sinx + C |
| – sinx | cosx + C |
| 1/(cosx)2 | tanx + C |
| (-1)/(sinx)2 | cotx + C |
a) Cho ∫(x – 1)10 dx. Đặt u = x – 1, hãy viết (x – 1)10dx theo u và du.
b)∫
. Đặt x = et, hãy viết theo t và dt.
a) Ta có (x – 1)10dx = u10 du (do du = d(x – 1) = dx.
b) Ta có dx = d(et) = et dt, do đó 
Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.
Lời giải:
Ta có ∫ (xcosx)’dx = (xcosx) và ∫ cosxdx = sinx. Từ đó
∫ xsinxdx = – ∫ [(xcosx)’ – cosx]dx = -∫ (xcosx)’dx + ∫ cosxdx = – xcosx + sinx + C.
| ∫ P(x)ex dx | ∫ P(x)cosxdx | ∫ P(x)lnxdx |
| P(x) | ||
| exdx |
Lời giải:
| ∫ P(x)ex dx | ∫ P(x)cosxdx | ∫ P(x)lnxdx |
| P(x) | P(x) | P(x)lnx |
| exdx | cosxdx | dx |
Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12):
Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?
Lời giải:
a) Ta có: (-e-x)’ = -e-x.(-x)’ = e-x
⇒ -e-x là một nguyên hàm của hàm số e-x
b) (sin2x)’ = 2.sinx.(sinx)’ = 2.sinx.cosx = sin2x
⇒ sin2x là một nguyên hàm của hàm số .
là một nguyên hàm của hàm số 
Bài 2 (trang 100 SGK Giải tích 12):
Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
Bài 3 (trang 101 SGK Giải tích 12)
Sử dụng phương pháp đổi biến, hãy tính:
Lời giải:
a) Đặt u = 1 – x ⇒ u’(x) = -1⇒ du = -dx
Thay u = 1 – x vào kết quả ta được :
b) Đặt u = 1 + x2 ⇒ u’ = 2x ⇒ du = 2x.dx
Thay lại u = 1+ x2 vào kết quả ta được:
c) Đặt u = cosx ⇒ u’ = -sinx ⇒ du = -sinx.dx
Thay lại u = cos x vào kết quả ta được:
d) Ta có:
Bài 4 (trang 101 SGK Giải tích 12):
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
Lời giải:
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
b) Đặt
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
Lời kết:
Qua lý thuyết và các dạng bài tập, các em đã làm được nguyên hàm chưa nào? Nguyên hàm còn liên quan tới các hàm lượng giác, vì vậy các em hãy nắm chắc kiến thức của hai phần này để học tốt bài học nhé! Nếu chưa hiểu hãy mở lại các bài học trước tại Toppy. để luyện tập lại kiến thức các em nhé! Toppy sẽ giúp các em học tốt và tìm được niềm đam mê với môn học yêu thích!
Toppy là công ty Edtech về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và nhà trường để giải đáp những yêu cầu trong việc học tập thông qua mạng lưới các chuyên gia và giáo viên khắp toàn cầu mà Toppy gọi là các gia sư học thuật quốc tế. Với kho tàng kiến thức khổng lồ theo từng chủ đề, bám sát chương trình sách giáo khoa, các thầy cô Toppy luôn nỗ lực mang đến cho các em những bài giảng hay, dễ hiểu nhất, giúp các em tiến bộ hơn từng ngày.
Toppy sẽ giúp các em học tốt và tìm được niềm đam mê với môn học yêu thích!
